Bài 107549

Question

Cho tứ diện

$OABC$ và

$OA, OB, OC$ đôi một vuông góc và

$OA=a, OB=a\sqrt{2}, Oc=c(a>0, c>0)$ . Gọi

$D$ là đỉnh đối diện

$O$ cảu hình chữ nhật

$OADB$ ,

$M$ là trung điểm của

$BC, mp(\alpha )$ qua

$A$ và

$M$ cắt

$(OCD)$ theo đường thẳng vuông góc với

$AM$
a) Gọi

$E$ là giao điểm

$(\alpha )$ với

$OC$ . Tính

$OE$
b) Tính khoảng cách từ

$C$ đến

$mp(\alpha )$
c) Tính diện tích thiết diện rạo bởi

$(\alpha )$ và hình chóp

$C.OADB$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/9/2012 10:41:19 AM

Chọn hệ trục tọa độ

$Oxyz$ sao cho:

$O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;a\sqrt{2};0 ), C(0;0;c)\Rightarrow M(0;\frac{a\sqrt{2} }{2};\frac{c}{2} )$

a) Gọi

$I$ là tâm

$OACB, G=CI \cap AM$

$\Rightarrow G$ là trọng tâm

$\Delta ABC\Rightarrow G(\frac{a}{3};\frac{a\sqrt{2} }{3};\frac{c}{3})$

$E\in OC\Rightarrow E(0;0;e)$
Ta có:

$(\alpha ) \cap (OCD)=EG$

$\Rightarrow \overrightarrow{EG}.\overrightarrow{AM}=0 (do EG\bot AM)$

$\Rightarrow (\frac{a}{3};\frac{a\sqrt{2} }{3};\frac{c}{3}-e )(-a;\frac{a\sqrt{2} }{2};\frac{c}{2})=0$

$\Rightarrow e=\frac{c}{3}\Rightarrow E(0;0;\frac{c}{3} )$
vậy

$OE=\frac{c}{3}$

b)

$\begin{array}{l} {\overrightarrow n _{(\alpha )}} = {\rm{[}}\overrightarrow {AM} {\rm{,}}\overrightarrow {EG} {\rm{] = }}\left| {\left( { - a;\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{c}{2}} \right),\left( {\frac{a}{3};\frac{{a\sqrt 2 }}{3};0} \right)} \right| = - \frac{a}{6}(c\sqrt 2 ; - c;3a\sqrt 2 )\\ \Rightarrow (\alpha ):c\sqrt 2 (x - a) - cy + 3a\sqrt 2 z = 0\\ \Leftrightarrow c\sqrt 2 x - cy + 3a\sqrt 2 z - ac\sqrt 2 = 0\\ \Rightarrow d(C,(\alpha )) = \frac{{|3a\sqrt 2 .c - ac\sqrt 2 |}}{{\sqrt {2{c^2} + {c^2} + 18{a^2}} }} \end{array}$

c) Trong

$(OCD)$ , gọi

$K= EG\cap CD\Rightarrow$ Thiết diện là tứ giác

$AKME$
Do

$\frac{CE}{CO}=\frac{CG}{CI}=\frac{2}{3}$ nên

$EG//OD\Rightarrow EK//OD$

$G$ là trung điểm

$EK$

$\Rightarrow S_{AKME}=2S_{\Delta AEM}=EG.AM=\frac{a\sqrt{3} }{3}.\frac{\sqrt{6a^2+c^2} }{2}$
vậy

$S_{AKME}=\frac{a\sqrt{18a^2+3c^2} }{6}$ (đvdt)

Bài 107549

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107549

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan