Bài 107549

Question

Cho tứ diện $OABC$ và $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc và $OA=a, OB=a\sqrt{2}, Oc=c(a>0, c>0) $. Gọi $D$ là đỉnh đối diện $O$ cảu hình chữ nhật $OADB$, $M$ là trung điểm của $BC, mp(\alpha )$ qua $A$ và $M$ cắt $(OCD)$ theo đường thẳng vuông góc với $AM$
a) Gọi $E$ là giao điểm $(\alpha )$ với $OC$. Tính $OE$
b) Tính khoảng cách từ $C$ đến $mp(\alpha )$
c) Tính diện tích thiết diện rạo bởi $(\alpha )$ và hình chóp $C.OADB$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/9/2012 10:41:19 AM

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho: $O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;a\sqrt{2};0 ), C(0;0;c)\Rightarrow M(0;\frac{a\sqrt{2} }{2};\frac{c}{2} )$

a) Gọi $I$ là tâm $OACB, G=CI \cap AM$
$\Rightarrow G$ là trọng tâm $\Delta ABC\Rightarrow G(\frac{a}{3};\frac{a\sqrt{2} }{3};\frac{c}{3})$
$E\in OC\Rightarrow E(0;0;e)$
Ta có: $(\alpha ) \cap (OCD)=EG$
$\Rightarrow \overrightarrow{EG}.\overrightarrow{AM}=0 (do EG\bot AM) $
$\Rightarrow (\frac{a}{3};\frac{a\sqrt{2} }{3};\frac{c}{3}-e   )(-a;\frac{a\sqrt{2} }{2};\frac{c}{2})=0$
$\Rightarrow e=\frac{c}{3}\Rightarrow E(0;0;\frac{c}{3} ) $
vậy $OE=\frac{c}{3} $

b)
$\begin{array}{l}
{\overrightarrow n _{(\alpha )}} = {\rm{[}}\overrightarrow {AM} {\rm{,}}\overrightarrow {EG} {\rm{] = }}\left| {\left( { - a;\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{c}{2}} \right),\left( {\frac{a}{3};\frac{{a\sqrt 2 }}{3};0} \right)} \right| = - \frac{a}{6}(c\sqrt 2 ; - c;3a\sqrt 2 )\\
\Rightarrow (\alpha ):c\sqrt 2 (x - a) - cy + 3a\sqrt 2 z = 0\\
\Leftrightarrow c\sqrt 2 x - cy + 3a\sqrt 2 z - ac\sqrt 2 = 0\\
\Rightarrow d(C,(\alpha )) = \frac{{|3a\sqrt 2 .c - ac\sqrt 2 |}}{{\sqrt {2{c^2} + {c^2} + 18{a^2}} }}
\end{array}$

c) Trong $(OCD)$, gọi $K= EG\cap CD\Rightarrow $ Thiết diện là tứ giác $AKME$
Do $\frac{CE}{CO}=\frac{CG}{CI}=\frac{2}{3}   $ nên $EG//OD\Rightarrow EK//OD$
$G$ là trung điểm $EK$
$\Rightarrow S_{AKME}=2S_{\Delta AEM}=EG.AM=\frac{a\sqrt{3} }{3}.\frac{\sqrt{6a^2+c^2} }{2} $
vậy $S_{AKME}=\frac{a\sqrt{18a^2+3c^2} }{6} $     (đvdt)

Bài 107549

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107549

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan