Bài 107544

Question

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=2, AD=4,AA'=6$. Gọi $I, J$ là trung điểm $AB, C'D'$. Gọi $M, N$ thỏa $\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AD} , \overrightarrow{BN}=m\overrightarrow{BB'}(0\leq m\leq 1) $
a) Tính khoảng cách từ $A$ đến $(BDA')$
b) Chứng minh $I,M,J,N$ đồng phẳng
c) Xác định tâm $K$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ ngoại tiếp $ABDA'$
d) Tính bán kính $r$ của đường tròn giao tuyến của $(S)$ và $(BDA')$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/9/2012 9:58:21 AM

Chọn hệ trục tọa độ $Axyz$ sao cho: $A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;4;0), A'(0;0;6), C(2;4;0), B'(2;0;6), C'(2;4;6), D'(0;4;6)$
$\Rightarrow I(1;0;0), J(1;4;6)$
$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AD}=m(0;4;0)\Rightarrow M(0;4m;0) $
$\overrightarrow{BN}=m\overrightarrow{BB'}=m(0;0;6)\Rightarrow N(2;0;6m) $

a) Phương trình $(BDA'):\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=1\Leftrightarrow 6x+3y+2z-12=0 $
$\Rightarrow d(A,(BDA'))=\frac{12}{\sqrt{36+9+4} }=\frac{12}{7} $

b) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{IM}=(-1;4m;0) \\ \overrightarrow{IN}=(1;0;6m) \\\overrightarrow{IJ}=(0;4;6) \end{array} \right. $
$\Rightarrow [\overrightarrow{IN},\overrightarrow{IJ} ]=(-24m;-6;4)$
$\Rightarrow [\overrightarrow{IN},\overrightarrow{IJ} ].\overrightarrow{IM} =24m-24m=0,\forall m \in [0;1]$
Vậy $I, M, J, N$ đồng phẳng

c) Phương trình $(S):x^2+y^2+Z^2-2ax-2by-2cz=0 (A\in (S))$
$B, D, A' \in (S)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4-4a=0\\ 16-8b=0\\36-12c=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=1\\ b=2\\c=3 \end{array} \right. $
$\Rightarrow K(1;2;3), R=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14} $
Vậy $K$ là trung điểm của $AC'$ và $R=\sqrt{14} $

d) Gọi $d$ là khoảng cách từ từ $K$ đến $(BDA')$
$d=\frac{|6.1+3.2+2.3-12|}{\sqrt{36+9+4} }=\frac{6}{7} $
Ta có: $r=\sqrt{R^2-d^2} =\sqrt{14-\frac{36}{49} }=\frac{5\sqrt{26} }{7} $
Vậy $r=\frac{5\sqrt{26} }{7} $

Bài 107544

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107544

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan