Bài 107348

Question

Cho mặt phẳng

$(\alpha )$ cho hình vuông

$ABCD$ . Trên tia

$Az\bot(\alpha )$ lấy điểm

$S$ . Đường thẳng

$\Delta_1 \bot (SBC)$ tại

$S$ cắt

$(\alpha )$ tại

$M$ ,

$\Delta_2 \bot (SCD)$ tại

$S$ cắt

$(\alpha )$ tại

$N$ . Gọi

$I$ là trung điểm của

$MN$
a) Chứng minh

$A,B,M$ thẳng hàng,

$A,D,N$ thẳng hàng
b) Khi

$S$ di động trên

$Az$ , chứng tỏ

$I$ thuộc đường thẳng cố định
c) Vẽ

$AH\bot SI$ tại

$H$ . Chứng minh

$AH$ là đường cao tứ diện

$ASMN$ và

$H$ là trục tâm

$\Delta SMN$
d) Cho

$OS=2;AB=1$ . Tính

$V_{ASMN}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/8/2012 11:15:43 AM

Chọn hệ trục tọa độ

$Axyz$ sao cho:

$A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), S(0;0;h), h>0$

a)

$\overrightarrow{u}_{\Delta_1 }=[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC} ]=(h;0;1)$

$\overrightarrow{u}_{\Delta_2 }=[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD} ]=(0;h;1)$
Phương trình

$(\alpha ):z=0$
Phương trình tham số

$\Delta_1$

$\left\{ \begin{array}{l} x=ht\\ y=0\\z=h+t \end{array} \right. (t\in R)$
Phương trình tham số

$\Delta_2:\left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y=ht\\z=h+t \end{array} \right. (t\in R)$

$\Rightarrow M(-h^2;0;0), N(0;-h^2;0)\Rightarrow I(-\frac{h^2}{2};-\frac{h^2}{2};0 )$

$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{AM}=(-h^2;0;0)=-h^2\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{AN}=(0;-h^2;0) =-h^2\overrightarrow{AD} \end{array} \right.$
Vậy

$A,M,B$ và

$A,N,D$ thẳng hàng

b)

$I$ di động trên đường cố định
Ta có:

$\overrightarrow{u}_{AC}=\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$
Phương trình tham số:

$AC:\left\{ \begin{array}{l} x=t\\ y=t\\z=0 \end{array} \right.$

$I(-\frac{h^2}{2};\frac{h^2}{2};0 )\in AC$
Vậy

$S$ di động trên

$Az$ thì

$I$ di động trên đường thẳng

$AC$

c) Ta có:

$H \in SI \subset (SMN)\Rightarrow H\in (SMN)$

$\overrightarrow{n}_{(SMN)}=[\overrightarrow{SM},\overrightarrow{SN} ]=-h^3(1;1;-h)$

$\overrightarrow{n}_{(SAI)}=[\overrightarrow{AS},\overrightarrow{AI} ]=-\frac{h^3}{2}(1;-1;0)$

$\overrightarrow{n}_{(SMN)}\bot \overrightarrow{n}_{SAI}\Rightarrow (SMN)\bot (SAI)$
Mà

$\left\{ \begin{array}{l} (SMN)\cap (SAI)=SI\\ AH\bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AH\bot (SMN)$
Vậy

$AH$ là đường cao hình chóp

$ASMN$
Chứng minh

$H$ là trục tâm

$\Delta SMN$

$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{MN}=h^2(1;-1;0) \\ \overrightarrow{SI}=-\frac{h}{2}(h;h;2) \end{array} \right. \Rightarrow MN\bot SI \Rightarrow MN\bot SH (1)$

$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{SM}=(-h^2;0;-h) \\ \overrightarrow{AN}=(0;-h^2;0) \end{array} \right. SM\bot AN$

$SM\bot (AHN)(do SM\bot AH)\Rightarrow SM\bot AH (2)$
Từ

$(1), (2)$ suy ra

$H$ là trục tâm

$\Delta SMN$

d) Với

$OS=2, AB=1,$ ta có:

$A(0;0;0), S(0;0;2), M(-4;0;0), N(0;-4;0)$

$\Rightarrow V_{ASMN}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN} ].\overrightarrow{AS} |=\frac{1}{6}|[(-4;0;0),(0;-4;0)](0;0;2)|=\frac{16}{3}$ (đvdt)

Bài 107348

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107348

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan