Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi hai mặt phẳng $(\alpha )_1$ và $(\alpha )_2$ có dạng:
$m(2x+y-3z+2)+n(5x+5y-4z+3)=0 (m^2+n^2\neq 0)$
$(2m+5n)x+(m+5n)y-(3m+4n)z+2m+3n=0$
Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng thuộc chùm mặt phẳng sao cho $(\alpha )$ qua $A(4;-3;1)$
$\Rightarrow 8m+2on-3m-15n-3m-4n+2m+3n=0$
$\Rightarrow 4m+4n=0\Leftrightarrow m=-n$
Chọn $m=-1, n=1$
Vậy phương trình $(\alpha ):3x+4y-z+1=0$
Gọi $(\beta )$ là mặt phẳng thuộc chùm mặt phẳng sao cho $(\beta )\bot (\alpha )$
Ta có: $\overrightarrow{n}_{(\beta )} =(2m+5n;m+5n;-3m-4n)$
$(\alpha )$ có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n}_{(\alpha )}=(3;4;-1) $
Vì $(\beta )\bot (\alpha )$ nên $\overrightarrow{n}_{(\beta )}.\overrightarrow{n}_{(\alpha )} =0$
$\Leftrightarrow 6m+15n+4m+20n+3m+4n=0\Leftrightarrow 13m=-39n\Leftrightarrow m=-3n$
Chọn $m=3$ và $n=-1$
Vậy phương trình $(\beta ):x-2y-5z+3=0$