Bài 106932

Question

Cho mặt phẳng $(\alpha ):2x-y+z+1=0$ và $P(3;1;0), Q(-9;4;9)$. Tìm $M$ sao cho $|MP-MQ|$ đạt giá trị lớn nhất

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/5/2012 3:37:00 PM

Thế tọa độ $P, Q$ vào phương trình $mp(\alpha )$
Ta có: $6-1+0+1=6>0$
$-18-4+9+1=-12<0$
Vậy $P,Q$ nằm về hai phía đối với $(\alpha )$
Gọi $P'$ là điểm đối xứng của $P$ qua $(\alpha )$
Ta có: $|MP-MQ|=|MP'-MQ|\leq P'Q$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow P'$ nằm giữa hai điểm $M,Q$ (Với $M$ là giao điểm của đường thẳng $P'Q$ và $mp(\alpha )$
Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $P$ và vuông góc với $(\alpha )$ thì:
$\overrightarrow{u}_\Delta =\overrightarrow{n}_P =(2;-1;1) ; \Delta:\left\{ \begin{array}{l} x=3+2t\\ y=1-t\\z=t \end{array} \right. (t\in R)$
Thay vào phương trình $mp(\alpha )\Rightarrow 2(3+2t)-1+t+t+1=0\Rightarrow t=-1$
vậy $H(1;2;-1)$
Vì $P'$ đối xứng $P$ qua $mp(\alpha )$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_P'=2x_H-x_P=2-3=-1\\ y_P'=2y_H-y_P=4-1=3\\z_P'=2z_H-z_P=-2\end{array} \right. $
$P'(-1;3;-2)$
Phương trình tham số đường thẳng $P'Q$ nhận $\overrightarrow{P'Q}=(-8;1;11) $ làm vecto chỉ phương là $\left\{ \begin{array}{l} x=-1-8t\\ y=3+t\\z=-2+11t \end{array} \right. (t\in R)$
Thay vào phương trình $mp(\alpha )$ ta được:
$2(-1-8t)-3-t-2+11t+1=0\Leftrightarrow -6t-6=0\Leftrightarrow t=-1$
Vậy giao điểm của $P'Q$ và $(\alpha )$ là $M(7;2;-13)$
Do đó: $|MP-MQ|$ lớn nhất $\Leftrightarrow M(7;2;-13)$

Bài 106932

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106932

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan