Bài 106768

Question

Cho hàm số:

$y = \frac{x^2- x - 1}{1 + x}$

$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

$2.$ Tìm tất cả những điểm trên trục tung mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị vừa vẽ.

score 0 · Answer 1

$1.$ Bạn đọc tự giải

$2.$ Phương trình tiếp tuyến tại

$({x_0};{y_0})$ thuộc đồ thị là:

$y - \frac{{x_0^2 - {x_0} - 1}}{{1 + {x_0}}} = \frac{{x_0^2 + 2{x_0}}}{{{{\left( {1 + {x_0}} \right)}^2}}}(x - {x_0})$
Tiếp tuyến này sẽ đi qua điểm

$A(0;a)$ tùy ý đã cho trên trục tung

$\Leftrightarrow a - \frac{{x_0^2 - {x_0} - 1}}{{1 + {x_0}}} = \frac{{x_0^2 + 2{x_0}}}{{{{\left( {1 + {x_0}} \right)}^2}}}( - {x_0})$

$\Leftrightarrow {x_0}$ là nghiệm của phương trình:

$a - \frac{{{x^2} - x - 1}}{{1 + x}} = - \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}x\,\,(1)$
Qua

$A(0, a)$ sẽ kẻ được

$2$ tiếp tuyến đến đồ thị khi và chỉ khi pt (

$1$ ) có

$2$ nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow (a + 2){x^2} + 2(a + 1)x + a + 1 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác

$-1.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne - 2\\ a < - 1 \end{array} \right.$
Kết luận: Vậy điểm cần tìm là

$A(0;a)$ với

$a< -2$ hoặc

$-2 < a < -1$

1 Đáp án