Bài 106687

Question

Cho hàm số: $y =-x^3 + 3x^2 - 2$
$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên. Chỉ rõ các giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ.
$2.$ Viết pt tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm uốn. Chứng tỏ rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
$3.$ Dùng đồ thị hàm số đã vẽ để biện luận theo các giá trị của tham số $m$ về số nghiệm của phương trình $x^3 - 3x^2 + m = 0$

score 0 · Answer 1

$1.$ Bạn đọc tự khảo sát hàm số $y=f(x)=-x^3+3x^2-2x$
Đồ thị có dạng :

$2.$ $I(1;0)$ là điểm uốn của đồ thị. Tiếp tuyến tại $I$ có dạng:
$y = f'(1)(x - 1) = 3(x - 1)$
Để chứng minh $I$ là tâm đối xứng của ($C$), ta xét đường thẳng ($d$) qua $I(1;0).$
Phương trình ($d$) có dạng:
$y = k(x - 1)$
Hoành độ điểm chung của ($d$) và ($C$) là nghiệm của:
$k(x - 1) = - {x^3} + 3{x^2} - 2$
$ \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} - 2x - 2 + + k) = 0$
+ Nếu $\Delta ’ = 3 – k < 0$ thì $d$ và ($C$) có $1$ điểm chung duy nhất.
+ Nếu $\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow k \le 3$ thì d và ($C$) có $3$ điểm chung: $I(1;0) {A_1}\left( {{x_1};k({x_1} - 1} \right)\,\,\,;\,\,{A_2}\left( {{x_2};k({x_2} - 1} \right)$ với $x_1; x_2$ là $2$ nghiệm của phương trình: ${x^2} - 2x - 2 + k = 0$
Theo Viet:
${x_1} + {x_2} = 1 = {x_I}$ nên $I(1;0)$ là trung điểm của $A_1A_2 \Leftrightarrow A_1; A_2$ đối xứng nhau qua $I \Leftrightarrow I$ là tâm đối xứng của ($C$).
$3.$ ${x^3} - 3{x^2} + m = 0$ $\Leftrightarrow m - 2 = - {x^3} + 3{x^2} - 2$. Số nghiệm của pt là số giao điểm của ($C$) với đường thẳng $y = m – 2$

Bài 106687

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106687

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan