Bài 106583

Question

$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: $y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}$
$2.$ Tìm hai điểm $A, B$ thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị để khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.

score 0 · Answer 1

$1.$ Bạn đọc tự giải
$2.$ $y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = x + \frac{1}{{x - 1}}$
$A({x_1};{y_1})$thuộc nhánh bên phải tiệm cận đứng $ \Rightarrow {x_1} = 1 + \alpha $ với $\alpha > 0$
$ \Rightarrow {y_1} = 1 + \alpha + \frac{1}{\alpha }$
$B({x_2};{y_2})$thuộc nhánh bên trái tiệm cận đứng $ \Rightarrow {x_2} = 1 - \beta $ với $\beta
> 0$
$ \Rightarrow {y_2} = 1 + - \beta + \frac{1}{{ - \beta }}$
$\begin{array}{l}
d_{AB}^2 = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)^2}\\
= {\left( {\alpha + \beta } \right)^2} + {\left( {\alpha + \beta + \frac{1}{\alpha } +
\frac{1}{\beta }} \right)^2}\\
= {\left( {\alpha + \beta } \right)^2} + \left[ {1 + {{\left( {1 + \frac{1}{{\alpha + \beta }}}
\right)}^2}} \right]\\
= {\left( {\alpha + \beta } \right)^2}\left[ {2 + \frac{2}{{\alpha \beta }} + \frac{1}{{{{\left(
{\alpha \beta } \right)}^2}}}} \right]\\
\ge 4\alpha \beta \left[ {2 + \frac{1}{{\alpha \beta }} + \frac{1}{{{{\left( {\alpha \beta }
\right)}^2}}}} \right] = 8\alpha \beta + 8 + \frac{4}{{\alpha \beta }} \ge 8 + 2\sqrt {8.4} \\
{d_{AB}} \ge \sqrt {8 + 8\sqrt 2 }
\end{array}$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\alpha = \beta > 0\\
8\alpha \beta = \frac{4}{{\alpha \beta }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \alpha = \beta = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}$
Vậy hai điểm cần tìm là $2$ điểm trên đồ thị với hoành độ là ${x_1} = 1 +
\frac{1}{{\sqrt[4]{2}}};\,\,\,{x_2} = 1 - \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}$

Bài 106583

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106583

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan