Bài 106545

Question

Trong không gian

$Oxyz$ cho bốn điểm

$A(2a;0;0) C(0;2a;0) D(0;0;2a) B(2a;2a;0) (a > 0)$

$1.$ Gọi

$E$ là trung điểm đoạn

$BD$ . Hãy tìm tọa độ giao điểm

$F$ của đoạn thẳng

$OE$ (trong đó

$O$ là gốc tọa độ) với mặt phẳng (

$ACD)$

$2.$ Tính thể tích của hình chóp

$D.OABC$

$3.$ Tìm tọa độ điểm

$O_1$ đối xứng với điểm

$O$ qua đường thẳng

$BD.$

score 0 · Answer 1

$1.$ Vì

$E$ là trung điểm của

$BD$ nên

$E=(a,a,a)$
- Do

$A(2a,0,0); C(0,2a,0); D(0,0,2a)$ nên

$mp(ACD)$ có phương trình :

$\frac{x}{2a} +\frac{y}{2a} +\frac{z}{2a} =1\Leftrightarrow x=y+z-2a=0$
- Đường thẳng

$OE$ có phương trình

$\frac{x}{a} =\frac{y}{a} =\frac{z}{a} =t$

$\Rightarrow$ tọa độ điểm

$F$ là giao diểm của

$OE$ và

$mp(ACD)$ là nghiệm của hệ phương trình

$\begin{cases}x=at \\ y=at\\z=at\\x+y+z-2a=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{2}{3}a \\ y=\frac{2}{3}a \\z=\frac{2}{3}a\\t=\frac{2}{3} \end{cases}\Rightarrow F(\frac{2}{3}a;\frac{2}{3}a ;\frac{2}{3}a )$
- Ta cần phải chứng minh

$F$ thuộc đoạn

$OE$
Ta có :

$\overrightarrow {FO} =(-\frac{2}{3}a ;-\frac{2}{3}a ;-\frac{2}{3}a ), \overrightarrow {FE} =(\frac{1}{3}a ;\frac{1}{3}a ;\frac{1}{3}a ) \Rightarrow \overrightarrow {FE} =-\frac{1}{2} \overrightarrow {FO}$

$\Rightarrow F$ nằm giữa

$E$ và

$O$

$\Rightarrow F$ thuộc đoạn

$OE$
Vậy giao diêm của đoạn

$OE$ và

$(ACD)$ là :

$F(\frac{2}{3}a ;\frac{2}{3}a ;\frac{2}{3}a )$

$2.$ Ta có

$O,A,B,C$ cùng thuộc

$mp(Oxy),D\in Oz\Rightarrow OD\bot (OABC)$

$\Rightarrow V_{V.OABC}=\frac{1}{3} S_{OABC}.OD=\frac{1}{3} .4a^2.2a=\frac{8}{3} a^3$ (đvtt)

$3.$ Ta có

$\overrightarrow {DB} =(2a;2a;-2a)//(1,1,-1)$
Phương trình mặt phẳng

$(\alpha)$ đi qua

$O$ và vuông góc với

$BD$ có dạng :

$x+y-z=0$
Đường thẳng

$BD$ có véc tơ chỉ phương

$\overrightarrow {DB} =(1,1,-1)$ và đi qua

$D(0,0,2a)$ nên có phương trình là :

$\begin{cases}x=t \\ y=t\\z=-t+2a \end{cases}$
Tọa độ điểm

$H$ là giao điểm của

$BD$ và

$(\alpha)$ thỏa mãn hệ phương trình

$\begin{cases}x=t \\ y=t\\z=-t+2a\\x+y-z=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{2}{3}a \\ y=\frac{2}{3}a \\z=\frac{4}{3}a \\t=\frac{2}{3}a \end{cases} \Leftrightarrow H(\frac{2}{3}a ,\frac{2}{3}a ,\frac{2}{3}a )$
Ta có

$H$ là trung điểm của

$OO_1$ nên ta có:

$O_1=(\frac{4}{3}a ;\frac{4}{3}a ;\frac{8}{3}a )$

Bài 106545

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106545

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan