Bài 106457

Question

Cho hai đường thẳng $(D_1);\left( {D_2} \right)$lần lượt có phương trình :
$\begin{array}{l}
({D_1}):\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 2z = 0\\
x - y + z + 1 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u = (3;1; - 2)\\
({D_2}):\left\{ \begin{array}{l}
x = - 2 + 2t\\
y = - t,\,\,t \in R\\
z = 2 + t
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow v = (2; - 1;1)
\end{array}$
$a)$ Chứng minh $(D_1);\left( {D_2} \right)$chéo nhau.
$b)$ Tính khoảng cách $(D_1);\left( {D_2} \right)$
$c)$ Viết pt đường thẳng $(\Delta )$đi qua điểm $M(1 ;1 ;1)$ và cắt đồng thời cả $(D_1);\left( {D_2}
\right)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Thế $x, y, z$ từ phương trình của $(D_2)$ vào pt $(D_1)$ ta được :
$\left\{ \begin{array}{l}
- 2 + 2t - t + 2(2 + t) = 0\\
- 1 + 2t + t + 2 + t + 1 = 0
\end{array} \right.$
Hệ vô nghiệm nên $({D_1});\left( {{D_2}} \right)$ không có điểm chung.
Mặt khác $\overrightarrow u \ne k\overrightarrow v $ nên $({D_1});\left( {{D_2}} \right)$ không song song nhau.$({D_1});\left( {{D_2}} \right)$ chéo nhau.
$b)$ Gọi $\alpha $ là mặt phẳng chứa ($D_2$) và song song $(D_1)$ thì $\alpha $ nhận $[\overrightarrow u ;\overrightarrow v] $làm VTCP. Do đó VTPT của $\alpha $ là $\overrightarrow n (1;7;5)$.
Trong pt $(D_2)$ cho $t = 0$ ta được điểm $B(-2;0;2)$ $ \in \alpha $
($\alpha $) :$ x + 7y + 5z – 8 = 0$
Mặt khác trong phương trình ($D_1$) cho $z = 0$ ta được $x = -1/2 ; y = ½ $ nên điểm $A\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right)$$ \in {D_1}$, khoảng cách giữa $({D_1});\left( {{D_2}} \right)$
chính là khoảng cách từ A đến ($\alpha $) = $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$
$c)$ Vì $A\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right)$$ \in {D_1}$ nên mặt phẳng ($M; D_1$) đi qua điểm $M(1 ;1 ;1)$ và chứa $D_1$ nhận $[\overrightarrow {AM;} \overrightarrow u] $ làm VTCP, do đó nhận
$\overrightarrow u ( - 2;6;0)$ làm VTPT. Vậy pt tổng quát $(M ; D_1) $:
$-2x + 6y – 4 = 0$
Tương tự ($M ;D_2) : 5y + 5z – 10 = 0$
Vậy đt đi qua $M$ với phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x }} - {\rm{ 3y }}+{\rm{ 2 }} = {\rm{ }}0\\
{\rm{y }} + {\rm{ z }}-{\rm{ 2}}{\rm{ }} = {\rm{ }}0
\end{array} \right.$ là đường thẳng qua $M$ cắt cả $(D_1); (D_2).$

Bài 106457

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106457

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan