Bài 106210

Question

Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn

$Oxyz$ , cho mặt cầu (

$C$ ), đường thẳng

$\Delta$ và mặt phẳng (

$Q$ ) lần lượt có phương trình như sau:

$\begin{array}{l} (C):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 9z - 67 = 0\\ (\Delta ):\left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y + z - 8 = 0\\ 2x - y + 3 = 0 \end{array} \right.\\ (Q):5x + 2y + 2z - 7 = 0 \end{array}$

$1.$ Viết phương trình tất cả các mặt phẳng chứa

$\Delta$ và tiếp xúc với mặt cầu (

$C).$

$2.$ Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng

$\Delta$ lên mặt phẳng (

$Q).$

score 0 · Answer 1

$1.$ Phương trình họ mặt phẳng (P) chứa

$(\Delta )$ :

$a(3x-2y+z-8)+b(2x-y+3)=0$

$\Leftrightarrow (3a+2b)x-(2a+b)y+az+3b-8a=0$
Phương trình chính tắc của

$(C): (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=81$
Tâm và bán kính

$(C): I(1,2,3),R=9$
Mặt phẳng chứa

$(\Delta)$ và tiếp xúc mặt cầu

$\Leftrightarrow d(I;(P))=R$

$\Leftrightarrow \frac{|3a+2b-4a-2b+3a+3b-8a|}{\sqrt{(3a+2b)^2+(2a+b)^2+a^2} }=9$

$\Leftrightarrow |3b-6a|=9\sqrt{14a^2+5b^2+16ab}$

$\Leftrightarrow 61a^2+22b^2+74ab=0$
Cho

$a=1\Rightarrow 22b^2+74b+61=0\Rightarrow b=\frac{-37\pm3\sqrt{3} }{22}$
Vậy có hai mặt phẳng chưa

$(\Delta )$ và tiếp xúc mặt cầu

$(C)$ :

$(P_1):(8+6\sqrt{3} )x+(7-3\sqrt{3} )y-22z+287+9\sqrt{3}=0$

$(P_2) : (8-6\sqrt{3} )x+(7+3\sqrt{3} )y-22z+287-9\sqrt{3}=0$

$2.$ Mặt phẳng chứa

$(\Delta )$ vuông góc với

$(Q)$ thỏa mãn :

$\overrightarrow{n}_{P}.\overrightarrow{n}_{Q}=0$

$\Leftrightarrow 5(3a+2b)-2(2a+b)+2a=0$

$\Leftrightarrow 13a+8b=0\Rightarrow a=8,b=-13$
Vậy phương trình của hình chiếu

$(\Delta )$ lên

$(Q)$ là :

$\begin{cases}2x+3y-8z+103=0 \\ 5x+2y+2z-7=0 \end{cases}$

Bài 106210

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106210

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan