Bài 106210

Question

Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn $Oxyz$, cho mặt cầu ($C$), đường thẳng $\Delta $và mặt phẳng ($Q$) lần lượt có phương trình như sau:
$\begin{array}{l}
(C):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 9z - 67 = 0\\
(\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}
3x - 2y + z - 8 = 0\\
2x - y + 3 = 0
\end{array} \right.\\
(Q):5x + 2y + 2z - 7 = 0
\end{array}$
$1.$ Viết phương trình tất cả các mặt phẳng chứa $\Delta $và tiếp xúc với mặt cầu ($C).$
$2.$ Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng $\Delta $ lên mặt phẳng ($Q).$

score 0 · Answer 1

$1.$ Phương trình họ mặt phẳng (P) chứa $(\Delta )$ :
$a(3x-2y+z-8)+b(2x-y+3)=0$
$\Leftrightarrow (3a+2b)x-(2a+b)y+az+3b-8a=0$
Phương trình chính tắc của $(C): (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=81$
Tâm và bán kính $(C): I(1,2,3),R=9$
Mặt phẳng chứa $(\Delta) $ và tiếp xúc mặt cầu $\Leftrightarrow d(I;(P))=R$

$\Leftrightarrow \frac{|3a+2b-4a-2b+3a+3b-8a|}{\sqrt{(3a+2b)^2+(2a+b)^2+a^2} }=9 $
$\Leftrightarrow |3b-6a|=9\sqrt{14a^2+5b^2+16ab} $
$\Leftrightarrow 61a^2+22b^2+74ab=0$
Cho $a=1\Rightarrow 22b^2+74b+61=0\Rightarrow b=\frac{-37\pm3\sqrt{3} }{22} $
Vậy có hai mặt phẳng chưa $(\Delta )$ và tiếp xúc mặt cầu $(C)$ :
$(P_1):(8+6\sqrt{3} )x+(7-3\sqrt{3} )y-22z+287+9\sqrt{3}=0 $
$(P_2) : (8-6\sqrt{3} )x+(7+3\sqrt{3} )y-22z+287-9\sqrt{3}=0 $
$2.$ Mặt phẳng chứa $(\Delta )$ vuông góc với $(Q)$ thỏa mãn :$\overrightarrow{n}_{P}.\overrightarrow{n}_{Q}=0$

$\Leftrightarrow 5(3a+2b)-2(2a+b)+2a=0$
$\Leftrightarrow 13a+8b=0\Rightarrow a=8,b=-13$
Vậy phương trình của hình chiếu $(\Delta )$ lên $(Q)$ là :
$\begin{cases}2x+3y-8z+103=0 \\ 5x+2y+2z-7=0 \end{cases} $

Bài 106210

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106210

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan