Bài 106150

Question

Cho hàm số:

$y = \frac{x + 2}{x - 1}\,\,\,\,\,(C)$

$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (

$C$ ).

$2.$ Cho điểm

$A(0;a)$ . Xác định

$a$ để từ

$A$ kẻ được hai tiếp tuyến đến

$(C)$ sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục

$Ox.$

score 0 · Answer 1

$1.$ Xin dành cho bạn đọc.
Phương trình đường thẳng đi qua A(0;a) là y = kx + a
Đường thẳng là tiếp tuyến của (C) khi hệ pt sau có nghiệm:

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x + 2}}{{x - 1}} = kx + a\,\,\,(1)\\ y' = \frac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}} = k\,\,(2) \end{array} \right.$
Thay (2) vào (1) ta có phương trình:

$\Leftrightarrow {(a - 1)^2}{x^2} - 2(a + 2)x + a + 2 = 0\,\,(3)$
Với a ≠ 1 ta có:

$\Delta ' = 3(a + 2)$
Qua

$A$ có hai tiếp tuyến với đồ thị khi vào chỉ khi pt (

$3$ ) có hai nghiệm phân biệt:

$\Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow a > - 2$ (và khác

$1$ )
Giả sử

$x_1; x_2$ là hoành độ tiếp điểm tiếp xúc thì:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{2(a + 2)}}{{a - 1}}\\ {x_1}{x_2} = \frac{{a + 2}}{{a - 1}} \end{array} \right.\,\,(4)$
Ta có hai điểm tiếp xúc nằm về hai phía của trục

$Ox$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow y({x_1})y({x_2}) < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) + 4}}{{{x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) + 1}} < 0\,\,(5) \end{array}$
Đặt

$t = \frac{{a + 2}}{{a - 1}}$ . Từ (

$4$ ) suy ra:

$x_1 + x_2 = 2t$

$x_1x_2 = t$ . Thay vào (

$5$ ) ta có:

$\frac{{5t + 4}}{{ - t + 1}} < 0 \Leftrightarrow t < - \frac{4}{5}$ hoặc

$t > 1.$
Với

$t < -5$ ta được:

$\frac{{a + 2}}{{a - 1}} < - \frac{4}{5} \Leftrightarrow - \frac{2}{3} < a < 1$ (thỏa mãn điều kiện

$a > -2$ )
+ Với

$t > 1$ ta được

$a > 1$ ( thỏa mãn điều kiện

$a > - 2$ )

$\Rightarrow$

$- \frac{2}{3} < a < 1$ hoặc

$a > 1.$

Bài 106150

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106150

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan