Bài 106150

Question

Cho hàm số: $y = \frac{x + 2}{x - 1}\,\,\,\,\,(C)$
$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ($C$).
$ 2.$ Cho điểm $A(0;a)$. Xác định $a$ để từ $A$ kẻ được hai tiếp tuyến đến $(C)$ sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục $Ox.$

score 0 · Answer 1

$1.$ Xin dành cho bạn đọc.
Phương trình đường thẳng đi qua A(0;a) là y = kx + a
Đường thẳng là tiếp tuyến của (C) khi hệ pt sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x + 2}}{{x - 1}} = kx + a\,\,\,(1)\\
y' = \frac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}} = k\,\,(2)
\end{array} \right.$
Thay (2) vào (1) ta có phương trình:
$ \Leftrightarrow {(a - 1)^2}{x^2} - 2(a + 2)x + a + 2 = 0\,\,(3)$
Với a ≠ 1 ta có:
$\Delta ' = 3(a + 2)$
Qua $A$ có hai tiếp tuyến với đồ thị khi vào chỉ khi pt ($3$) có hai nghiệm phân biệt: $\Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow a > - 2$ (và khác $1$)
Giả sử $x_1; x_2$ là hoành độ tiếp điểm tiếp xúc thì:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2(a + 2)}}{{a - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \frac{{a + 2}}{{a - 1}}
\end{array} \right.\,\,(4)$
Ta có hai điểm tiếp xúc nằm về hai phía của trục $Ox$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow y({x_1})y({x_2}) < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}) + 4}}{{{x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) + 1}} < 0\,\,(5)
\end{array}$
Đặt $t = \frac{{a + 2}}{{a - 1}}$. Từ ($4$) suy ra: $x_1 + x_2 = 2t$
$x_1x_2 = t$. Thay vào ($5$) ta có:
$\frac{{5t + 4}}{{ - t + 1}} < 0 \Leftrightarrow t < - \frac{4}{5}$ hoặc $t > 1.$
Với $t < -5$ ta được: $\frac{{a + 2}}{{a - 1}} < - \frac{4}{5} \Leftrightarrow - \frac{2}{3} < a < 1$ (thỏa mãn điều kiện $a > -2$)
+ Với $t > 1$ ta được $a > 1$ ( thỏa mãn điều kiện $a > - 2$)
$ \Rightarrow $ $ - \frac{2}{3} < a < 1$ hoặc $a > 1.$

Bài 106150

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106150

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan