Bài 106098

Question

Cho hàm số $x^{3}-2 x^{2} + \left( 1-m   \right) x+m$, m là số thực.
a)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m=1.$
b)    TÌm m để đồ thị hàm số $(1)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ $ x_{1} , x_{2}, x_{3}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2} +x_{3}^{2} < 4$

score 0 · Answer 1

a)    Khi $m=1: y= x^{3}- 2 x^{2} +1$
•    Tập xác định: D=R
•    Sự biến thiên: $y’=3 x^{2} -4x =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x= \frac{ 4}{3}   \end{array} \right. $
•    Bảng biến thiên:

Trên $(-\infty ;0]\cup [ \frac{ 4}{3}; +\infty): y$ đồng biến, trên $(0; \frac{ 4}{3}):y$ nghịch biến.
$y”=6x-4=0$ và đổi dấu khi $x= \frac{ 2}{3}$
$\Rightarrow $ Điểm uốn $(\frac{ 2}{3}; \frac{ 11}{27})$
Đồ thị có tâm đối xứng $(\frac{ 2}{3}; \frac{ 11}{27})$

b)    $y=x^{3}-2 x^{2} + \left( 1-m   \right) x+m$. Hàm số này có
$a=1, b=-2, c=1-m, d=m: a+b+c+d=0 $
$\Rightarrow $ Đồ thị luôn cắt trục Ox tại điểm có hoành độ $x_{1} =1$
$\Rightarrow x^{3}- 2 x^{2} + \left( 1-m   \right) x +m=0$
$\Leftrightarrow \left( x-1   \right) \left( x^{2} –x-m   \right) =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x-1=0 \\ x^{2} –x-m=0   \end{array} \right. $
Có thể coi $x_{2} , x_{3}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} –x-m=0$
Phương trình này có $\Delta =1+4m$
Để có hai nghiệm phân biệt $x_{2}, x_{3}$ thì $1+4m>0 \Leftrightarrow m> - \frac{ 1}{4}.$
Lúc này $\begin{cases} x_{2} +x_{3}=1 \\ x_{2} .x_{3}=-m    \end{cases} $
$x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+ x_{3}^{2}=1+ \left( x_{2} +x_{3}   \right)^{2} – 2 x_{2} x_{3}=1+1+2m=2+2m$
Để $x_{1} ^{2}+ x_{2} ^{2}+x_{3}^{2} <4$ thì $m<1$
Điều kiện cần tìm: $- \frac{ 1}{4}<m< 1$

Bài 106098

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106098

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan