Bài 106037

Question

Hai số dương $x,y$ thỏa mãn $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $x+y$

score 0 · Answer 1

Để ý rằng :
   $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{\frac{2}{x}}\sqrt{x}+\sqrt{\frac{3}{y}}\sqrt{y}$.
Do vậy, theo bất đẳng thức bunhiacôpski, suy ra:
    $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\leq (\frac{2}{x}+\frac{3}{y})(x+y)=6(x+y)\Rightarrow x+y \geq \frac{1}{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}$.
Dấu $"="$ xảy ra khi:
    $\begin{cases}\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=6 \\ \frac{x}{\sqrt2}=\frac{y}{\sqrt3} \end{cases}\Leftrightarrow x=\frac{2+\sqrt{6}}{6},y=\frac{3+\sqrt{6}}{6}$.
Vậy $\min(x+y)=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}$ đạt được khi : $x=\frac{2+\sqrt{6}}{6},y=\frac{3+\sqrt{6}}{6}$

Bài 106037

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106037

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan