Bài 105935

Question

Cho hàm số : $y = \frac{{{x^2} + x}}{{x - 2}}\,\,\,(C)\,$
$1$. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
$2$. Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $B(0;b)$ và song song với tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $O(0;0)$. Xác định $b$ để đường thẳng $\Delta $ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M, N$. Chứng minh trung điểm $I$ của $MN$ nằm trên một đường thẳng cố định khi $b$ thay đổi.

score 0 · Answer 1

$1. $ Bạn đọc tự giải.
$2.$ Ta có
$y^/=\frac{x^2-4x-2}{(x-2)^2}; y^/(0)=-\frac{1}{2} $
$\Rightarrow $ đường thẳng $\Delta $ qua $B(0;b)$ và song song với tiếp tuyến tại điểm $O(0,0)$ là :$y=-\frac{1}{2} x+b$
Xét phương trình : $\frac{x^2+x}{x-2} =\frac{-x}{2} +b$
PT $\Leftrightarrow 2(x^2+x)=-x(x-2)+2b(x-2)$
$\Leftrightarrow 3x^2-2bx+4b=0$
$\Delta '>0\Leftrightarrow b^2-12b>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b<0\\b> 12\end{array} \right. $
Giả sử $I(x;y)$ là trung điểm của $MN,$ ta có:
$\begin{cases}x=\frac{x_1+x_2}{2} (1)\\ y=\frac{-x}{2}+b (2) \end{cases} $
Từ $(1)\Rightarrow b=3x;$
Thay vào $(2)\Rightarrow y=-\frac{x}{2} +3x\Leftrightarrow y=\frac{5x}{2} $
Vậy trung điểm $I$ của $MN$ nằm trên đường thẳng cố định $y=\frac{5x}{2} $
Vậy tập hợp điểm $I$ là phần đường thẳng ($y=\frac{5x}{2} $ ứng với $x<0$ hoặc$ x>4)$

Bài 105935

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105935

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan