Bài 105907

Question

Cho hàm số:

$y = \frac{{2x^2 + x + 1}}{{x + 1}}\,\,\,\,\,(1)$

$1$ . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

$(1)$ .

$2$ . Tìm những điểm trên trục tung sao cho từ đó ta có thể vẽ được hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm số

$(1)$ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

$3$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A = \frac{{2\cos^2x + |\cos x| + 1}}{{|\cos x| + 1}}$

score 0 · Answer 1

$1.$

$y=\frac{2x^2+x+1}{x+1}=2x-1+\frac{2}{x+1}$ Bạn đọc tự giải

$2.$ Xét

$A(0,a)\in Oy$ . Đường thẳng qua

$A(0,a)$ với hệ số góc

$k$ có phương trình

$y=kx+a$ .Đường thẳng này sẽ là một tiếp tuyến (qua

$A$ )

$\Leftrightarrow$ Hệ phương trình ẩn

$x$ sau có nghiệm

$(H)\begin{cases}2x-1+\frac{2}{x+1}=kx+a (1) \\ 2-\frac{2}{(x+1)^2} =k (2) \end{cases}$
Ta có

$(2)\Leftrightarrow 2(x+2)-\frac{2}{x+1}=k(x+1) (2')$

$(1)$ và

$(2')\Rightarrow -3+\frac{4}{x+1} =a-k \Rightarrow \frac{1}{x+1} =\frac{a+3-k}{4}$
Do đó

$(H)\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{1}{x+1}=\frac{a+3-k}{4} (3) \\ 2-\frac{2}{(x+1)^2}=k (2) \end{cases}$

$(H)$ sẽ có nghiệm

$\Leftrightarrow (3)$ có nghiệm thỏa mãn

$(2)$

$\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{a+3-k}{4}\neq 0 \\ 2-2.(\frac{a+3-k}{4} )^2=k \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}k\neq 2 \\ (k-(a+3)^2)+8k-16=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}k\neq 2 \\ k^2+[8-2(a+3)]k+(a+3)^2-16=0 (4) \end{cases}$
Vì vậy để qua

$A(0,a)$ kẻ được tới đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc, điều kiên cần và đủ là

$(4)$ có

$2$ nghiệm phân biệt

$k_1,k_2\neq 2$ thỏa mãn

$k_1.k_2=-1$

$\Leftrightarrow \begin{cases}(a+3)^2-16=-1 \\ (2-a(a+3))^2+8.2-16\neq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow a=-3\pm\sqrt{15}$

$\Rightarrow A_1(0,-3-\sqrt{15} ),A_2(0,-3+\sqrt{15} )$

$3.$ Đặt

$t=|cosx|$ thì

$0\leq t\leq 1$ và

$A=\frac{2t^2+t+1}{t+1}$
Theo phần

$1$ .Hàm số

$A=\frac{2t^2+t+1}{t+1}$ đồng biến trong đoạn

$0\leq t\leq 1$

$\Rightarrow maxA=\frac{2+1+1}{1+1}=2$ (đạt khi

$t=1\Leftrightarrow |cosx|=1\Leftrightarrow sinx=0\Leftrightarrow x=k\pi$ ),

$minA=1$ (đạt khi

$t=0\Leftrightarrow |cosx|=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2} +k\pi$ )

Bài 105907

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105907

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan