Bài 105659

Question

Cho hàm:
        $y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}}$
1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2)    Từ kết quả đó, hãy suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số: $y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{\left| {x + 2} \right|}}$
3)    Tìm các điểm thuộc trục hoành sao cho từ mỗi điểm ấy có thể vẽ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị ở phần 1

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 11:07:42 AM

$1)$    Viết lại hàm số dưới dạng
$y = x - 1 - \frac{1}{{x + 2}}$
    Hàm số xác định với mọi $x \ne - 2$.
    Đồ thị hàm số có tiệm cần đứng $x = - 2$, tiệm cận xiên $y = x - 1$.
    Ta có $y' = 1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 2 \Rightarrow $hàm số y luôn đồng biến, $\forall x \ne - 2$.
Bạn đọc tự vẽ đồ thị

$2)$    Ta có:
$y = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}}{\rm{ }}      khi      {\rm{ }}x > - 2\\
\frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}}{\rm{ khi      x < }} - 2{\rm{ }}
\end{array} \right.$
    Do đó khi $x > - 2$ đồ thị của $y$ là phần đồ thị đã vẽ ở phần $1$;
khi ${\rm{x < }} - 2{\rm{ }}$ đồ thị của $y$ là phần đồ thị vẽ ở phần $1)$ được lấy đối xứng qua trục hoành, tức là đồ thị là đường nét đứt.

$3)$    Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số phần $1)$ đi qua điểm $A\left( {{x_0},0} \right)$và có hệ số góc $k$ có dạng $y = k\left( {x - {x_0}} \right)$.
Gọi $x \ne - 2$ là hoành độ tiếp điểm. Để $k$ là duy nhất thì $x \ne - 2$ là nghiệm duy nhất của hệ
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 1 - \frac{1}{{x + 2}}{\rm{ }} = k\left( {x - {x_0}} \right)\\
1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{\rm{ }} = k{\rm{ }}
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow {x_1} \ne - 2$ là nghiệm duy nhất của phương trình:
$\left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x + 2} \right) = \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1} \right]\left( {x + {x_0}} \right)$.
Đặt $x + 2 = u \Rightarrow u \ne 0$ là nghiệm duy nhất của phương trình:
$\left( {u - 3} \right){u^2} - u = \left( {{u^2} + 1} \right)\left[ {u - 2 - {x_0}} \right]$
$ \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right){u^2} + 2u - 2 + {x_0} = 0$            $(1)$

a)    $u = 0$ là nghiệm của $(1)$ $ \Rightarrow {x_0} = - 2$ (khi đó nghiệm thứ $2$ của $(1)$ là $u = - 2/3 \ne 0$)

b)    $1 - {x_0} = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 1$, khi đó $(1)$ trở thành:
$2u - 3 = 0 \Leftrightarrow u = 3/2$

c)    $\Delta ' = 1 + \left( {1 - {x_0}} \right)\left( {2 + {x_0}} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow x_0^2 + {x_0} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \left( { - 1 \pm \sqrt {13} } \right)/2$

Đáp số: $A\left( { - 2,0} \right),A\left( {1,0} \right),$ $A\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2},0} \right),A\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2},0} \right)$

Bài 105659

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105659

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan