Bài 105893

Question

Cho hàm số: $y = {x^4} - a{x}^3 - (2a + 1){x^2} + ax + 1$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $a = 0$.
2) Tìm điểm $A$ thuộc trục tung sao cho qua $A$ có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị ở phần 1

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/28/2012 9:15:01 AM

$1)$ Dành cho bạn đọc.

$2)$ Điểm A có tọa độ $(0,{\rm{ }}{{\rm{y}}_o})$ và phương trình tiếp tuyến qua A có dạng $y = kx + {y_o}$. Hoành độ tiếp điểm của nó với đồ thị phần 1 là nghiệm của hệ
    $\left\{ \begin{array}{l}
{x^4} - {x^2} + 1 = kx + {y_o}{\rm{           (1)}}\\
{\rm{4}}{{\rm{x}}^3} - 2x = k{\rm{                       (2)}}
\end{array} \right.$
Do đồ thị đối xứng qua trục tung nên phải có một tiếp tuyến có hệ số góc $k = 0$. Từ (2) suy ra $2x(2{x^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0,{\rm{ }}{{\rm{x}}_{2,3}} = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow {y_o} = 1$ hoặc ${y_o} = \frac{3}{4}$.
Với ${y_o} = 1$ ta có hệ
    $\left\{ \begin{array}{l}
{x^4} - {x^2} + 1 = kx + 1{\rm{        (3)}}\\
{\rm{4}}{{\rm{x}}^3} - 2x = k{\rm{                    (4)}}
\end{array} \right.$
Có $3$ nghiệm k khác nhau không? từ $(3)$ ta có:
    ${x^4} - {x^2} - kx \Leftrightarrow x({x^3} - x - k) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^3} - x = k
\end{array} \right.{\rm{     (5)}}$
Với $x = 0$ ta có ${k_1} = 0$.
Từ $(4)$ và $(5)$ ta có: $4{x^3} - 2x = {x^3} - x \Leftrightarrow x(3{x^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}
\end{array} \right.$        $(6)$
Thế $(6)$ vào $(5)$ ta có ${k_{2,3}} = \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{9}$.
Với ${y_o} = 3/4$, không thỏa mãn vì chỉ có $1$ tiếp tuyến.
Đáp số : $A(0, 1)$ là điểm phải tìm

Bài 105893

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105893

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan