Bài 105891

Question

Cho hàm số: $y = {(x + 2)^2}{(x - 2)^2}$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2) Dựa vào đồ thị trên, biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình
${(x + 2)^2}{(x - 2)^2} = m$ (1)
3) Tìm $m$ để phương trình (1) có bốn nghiệm ${x_1},{x_2},{x_3},{x_4}$ lập thành một cấp số cộng

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/28/2012 9:11:26 AM

$1)$ Ta có:
    $y = {({x^2} - 4)^2} = {x^4} - 8{x^2} + 16$
Hàm số được xác định với mọi $x$
Đạo hàm:      $y' = 4{x^3} - 16x = 4x({x^2} - 4)$
                           $ = 4x(x + 2)(x - 2)$
Từ đó suy ra bảng biến thiên:

Hàm số có đạo hàm cấp hai:
    $y'' = 12{x^2} - 16 = 12\left( {{x^2} - \frac{4}{3}} \right)$,
Vậy $y'' > 0$ khi $x = \pm \frac{2}{{\sqrt 3 }}$, và $y''$ đổi dấu khi $x$ đi qua các điểm đó. Thành thử đồ thị có $2$ điểm uốn với hoành độ $x = \pm \frac{2}{{\sqrt 3 }}$.
Bạn đọc vẽ đồ thị

$2)$ Số nghiệm của phương trình $(1)$ là số giao điểm mà đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị. Vậy:
- Nếu $m < 0$: vô nghiệm
- Nếu $m = 0$: $2$ nghiệm
- Nếu $0 < m < 16$: $4$ nghiệm
- Nếu $m = 16$: $3$ nghiệm
- Nếu $16 < m$ : $2$ nghiệm.

$3)$ Vì đồ thị hàm số $y$ đối xứng đối với $Oy$, nên nếu coi rằng ${x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4}$
thì phải có: ${x_1} = - {x_4} < 0,{\rm{ }}{{\rm{x}}_2} = - {x_3} < 0$.
Viết phương trình $(1)$ dưới dạng
    ${x^4} - 8{x^2} + 16 - m = 0$                    $(2)$
Thì phương trình ${X^2} - 8X + 18 - m = 0$ ( với $X = {x^2}$) phải có $2$ nghiệm dương phân biệt $0 < {X_1} < {X_2}$, khi đó ${x_3} = \sqrt {{X_1}} ,{\rm{ }}{{\rm{x}}_4} = \sqrt {{X_2}} $.
Lại vì ${x_3} - {x_2} = {x_4} - {x_3} \Rightarrow {x_4} = 2{x_3} - {x_2} = 3{x_3}$,
nên     ${X_2} = x_4^2 = 9x_3^2 = 9{X_1}$.
Theo các hệ thức Viet ta có:
    $\left\{ \begin{array}{l}
{X_1} + {X_2} = 8\\
{X_1}{X_2} = 16 - m
\end{array} \right.{\rm{    }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
10{X_1} = 8\\
9X_1^2 = 16 - m
\end{array} \right.$
    $ \Rightarrow 16 - m = 9X_1^2 = 9{\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{{144}}{{25}}$
    $ \Leftrightarrow m = 16 - \frac{{144}}{{25}} = \frac{{256}}{{25}}$
Kiểm tra lại : với $m = 16 - \frac{{144}}{{25}}$, thì $(2)$ trở thành ${x^4} - 8{x^2} + \frac{{144}}{{25}} = 0$
$(2)$ có các nghiệm:
    ${x^2} = 4 \pm \sqrt {16 - \frac{{144}}{{25}}} = 4 \pm \sqrt {\frac{{256}}{{25}}} = 4 \pm \frac{{16}}{5}$
$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = 4 - \frac{{16}}{5} = \frac{4}{5} \Rightarrow {x_{2,3}} = \pm \frac{2}{{\sqrt 5 }}\\
{x^2} = 4 + \frac{{16}}{5} = \frac{{36}}{5} \Rightarrow {x_{1,4}} = \pm \frac{6}{{\sqrt 5 }}
\end{array} \right.$
Với ${x_1} = - \frac{6}{{\sqrt 5 }},{\rm{ }}{{\rm{x}}_2} = - \frac{2}{{\sqrt 5 }},{\rm{ }}{{\rm{x}}_3} = \frac{2}{{\sqrt 5 }},{\rm{ }}{{\rm{x}}_4} = \frac{6}{{\sqrt 5 }}$,
Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng với công sai $d = \frac{4}{{\sqrt 5 }}$

Bài 105891

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105891

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan