Bài 105890

Question

Cho hàm: $f(x) = - {x^4} + 2(m + 1){x^2} - 2m - 1$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 0$.
b) Xác định tham số $m$ để $f(x) = 0$ có bốn nghiệm phân biệt tạo thành cấp số cộng

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/28/2012 9:06:08 AM

a) Dành cho bạn đọc.

b) Ta có: $f(x) = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 2(m + 1){x^2} - 2m - 1 = 0$
$ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} - (m + 1)} \right]^2} - {m^2} = 0$ (1)
Đặt $t = {x^2} \ge 0$, khi đó (1) trở thành: ${\left[ {t - (m + 1)} \right]^2} - {m^2} = 0$ $(2)$
$ \Leftrightarrow {t_{1,2}} = \pm m + (m + 1) \Leftrightarrow {t_1} = 1,{\rm{ }}{{\rm{t}}_2} = 2m + 1$.

Từ đó để $(1)$ có $4$ nghiệm khác nhau thì $(2)$ có $2$ nghiệm dương khác nhau $ \Leftrightarrow 1 \ne {t_2} = 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow 0 \ne m > - 1/2$.
Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng của nghiệm ta xét hai trường hợp sau:

a) $2m + 1 > 1 \Leftrightarrow m > 0$. Khi đó nghiệm của $(1)$ theo thứ tự sẽ là
$ - \sqrt {2m + 1} ,{\rm{ }} - 1,{\rm{ 1, }}\sqrt {2m + 1} \Rightarrow d = 1 - ( - 1) = 2$
Và $\sqrt {2m + 1} = 1 + d = 1 + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 4$

b) $0 < 2m + 1 < 1 \Leftrightarrow - 1/2 < m < 0$. Khi đó nghiệm của $(1)$ theo thứ tự sẽ là
$ - 1,{\rm{ }} - \sqrt {2m + 1} ,{\rm{ }}\sqrt {2m + 1} ,{\rm{ 1}} \Rightarrow d = \left[ {1 - ( - 1)} \right]/3 = 2/3$
Và $\sqrt {2m + 1} + d = \sqrt {2m + 1} + 2/3 = 1 \Leftrightarrow m = - 4/9$.
Đáp số : $m = 4,{\rm{ m}} = - 4/9$

Bài 105890

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105890

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan