Bài 105889

Question

Cho hàm số: $y = {(x + 1)^2}{(x - 1)^2}$
1) Khảo sát sự biên thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình : ${({x^2} - 1)^2} - 2m + 1 = 0$
3) Tìm $b$ để parabol $y = 2{x^2} + b$ tiếp xúc với đồ thị đã vẽ ở phần 1). Viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/28/2012 9:02:23 AM

$1)$ $y = {(x + 1)^2}{(x - 1)^2}$
$ = {x^4} - 2{x^2} + 1$
Hàm số được xác định với mọi $x$.
Ta có:
    $y' = 4{x^3} - 4x = 4x({x^2} - 1)$
Bạn đọc vẽ bảng biến thiên và đồ thị
(Có thể dùng đồ thị để giải phần $2$).

$2)$ Viết phương trình đã cho dưới dạng: ${({x^2} - 1)^2} = 2m - 1$                    $(1)$
a) $2m - 1 < 0 \Rightarrow m < 1/2$ : $(1)$ vô nghiệm
b) $m = 1/2 \Rightarrow {x^2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$: $(1)$ có $2$ nghiệm
c) $m > 1/2 \Rightarrow {x^2} - 1 = \pm \sqrt {2m - 1} \Rightarrow {x^2} = 1 \pm \sqrt {2m - 1} $
*) $1 - \sqrt {2m - 1} = 0 \Rightarrow 2m - 1 = 1 \Rightarrow m = 1$: $(1)$ có một nghiệm kép và hai nghiệm đơn;
*) $1/2 \le m < 1$: $(1)$ có $4$ nghiệm;
*) $m > 1$: (1) có $2$ nghiệm.

$3)$ $y = {(x + 1)^2}{(x - 1)^2} = {({x^2} - 1)^2}$
Hoành độ tiếp điểm của parabol ${y_p} = 2{x^2} + b$ và đồ thị hàm số thỏa mãn hệ phương trình
    $\left\{ \begin{array}{l}
y'(x) = {y_p}'(x)\\
y(x) = {y_p}
\end{array} \right.{\rm{          }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x({x^2} - 1) = 4x{\rm{           (1)}}\\
{{\rm{(}}{{\rm{x}}^2} - 1)^2} = 2{x^2} + b{\rm{       (2)}}
\end{array} \right.$
Từ $(1)$ suy ra $x = 0,{\rm{ x}} = \pm \sqrt 2 $, thế vào $(2)$ ta có:
    Với $x = 0 \Rightarrow b = 1$;
    Với $x = \pm \sqrt 2 \Rightarrow b = 1 - 4 = - 3$
Phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm là:
Tại điểm có hoành độ $x = 0:{\rm{ y}} = 1$.
Tại điểm có hoành độ $x = - 2{\rm{ : y}} = - 4\sqrt 2 x - 7$
            $( - 7 = 1 - \left[ {( - 4\sqrt 2 )( - \sqrt 2 )} \right])$
Tại điểm có hoành độ $x = \sqrt 2 {\rm{ : y}} = 4\sqrt 2 x - 7$.

Bài 105889

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105889

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan