Bài 105885

Question

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: $y = {x^4} - 4{x^3} + 3$.
2) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị phần 1 tại hai điểm phân biệt. Hãy viết phương trình tiếp tuyến này và cho biết hoành độ hai tiếp điểm

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/28/2012 8:53:25 AM

$1)$ Dành cho bạn đọc.

$2)$ Tiếp tuyến $y = {\rm{ax}} + b$ tiếp xúc với đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ ${x_1},{x_2}{\rm{ (}}{{\rm{x}}_1} \ne {x_2})$ khi và chỉ khi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm kép của phương trình ${x^4} - 4{x^3} + 3 = {\rm{ax}} + b$ hay của phương trình
    ${x^4} - 4{x^3} - {\rm{ax}} + 3 - b = 0$
$ \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^3} - {\rm{ax}} + 3 - b = {(x - {x_1})^2}{(x - {x_2})^2}$
$ \Leftrightarrow {x^4} - 2({x_1} + {x_2}){x^3} + \left[ {{{({x_1} + {x_2})}^2} + 2{x_1}{x_2}} \right]{x^2} - 2{x_1}{x_2}({x_1} + {x_2})x + {({x_1}{x_2})^2}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2{\rm{                           (1)}}\\
{({x_1} + {x_2})^2} + 2{x_1}{x_2} = 0{\rm{             (2)}}\\
2{x_1}{x_2}({x_1} + {x_2}) = a{\rm{                    (3)}}\\
{({x_1}{x_2})^2} = 3 - b{\rm{                          (4)}}
\end{array} \right.$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra ${x_1}{x_2} = - 2$          $(5)$.
Thế vào $(4)$ ta được $b = - 4 + 3 = - 1$.
Thế $(1), (5)$ vào $(3)$ ta được $a = 2.( - 2).2 = - 8$. Từ $(1)$ và $(5)$ giải ra ta có ${x_1} = 1 - \sqrt 3 $, ${x_2} = 1 + \sqrt 3 $.
Vậy có một tiếp tuyến duy nhất $y = - 8x - 1$ tiếp xúc với đồ thị hàm số phần $1)$ tại hai điểm có hoành độ ${x_1} = 1 - \sqrt 3 $, ${x_2} = 1 + \sqrt 3 $.

Bài 105885

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105885

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan