Bài 105845

Question

$1.$ Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
{\log _2}(x + y) + {\log _a}(x - y) = 1\\
x^2 - y^2 = a
\end{array} \right.$, với $a$ là số dương khác $1$. Xác định $a$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và giải hệ phương trình trong trường hợp đó.
$2.$ Viết phương trình ba cạnh của tam giác $ABC$ trong mặt phẳng $Oxy$, cho biết đỉnh $C(4;3)$, đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là: $x + 2y - 5 = 0\,\,\,;\,\,\,4x + 13y - 10 = 0$

score 0 · Answer 1

$1.$ Hệ pt có thể viết lại:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\log _2}(x + y) + {\log _a}2{\log _2}(x - y) = 1\\
\left( {x - y} \right)(x + y) = a
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _2}(x + y) + {\log _a}2{\log _2}\frac{a}{{x + y}} = 1\\
\left( {x - y} \right)(x + y) = a
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {1 - {{\log }_a}2} \right){\log _2}\left( {x + y} \right) = 0\,\,\,(1)\\
\left( {x - y} \right)(x + y) = a\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.
\end{array}$
+ Nếu $a = 2$ thì ($1$) đúng với mọi $x, y$ thỏa mãn $x + y > 0$
Và hệ đã cho tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l}
x + y > 0\\
(x + y)(x - y) = 2
\end{array} \right.$
Hệ này có ít nhất $2$ nghiệm là $\left( {\sqrt 2 ;0} \right);\left( {\sqrt 3 ;1} \right)$
Vậy với $a = 2$ thì hệ này ko có nghiệm duy nhất.
+ Nếu $a \ne 2$ thì hệ đã cho tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 1\\
x - y = a
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{1 + a}}{2}\\
y = \frac{{1 - a}}{2}
\end{array} \right.$
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất với mọi $a > 0;a \ne 1;a \ne 2$
$2.$

Nhận thấy điểm $C(4;3)$ không phải là đỉnh xuất phát của các đường phân giác và trung tuyến đã cho. Gọi $A$ là đỉnh này thì tọa độ của $A$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 5 = 0\\
4x + 13y - 10 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow A(9; - 2)$
Vậy pt cạnh $AC$ là: $\frac{{x - 4}}{5} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} \Leftrightarrow x + y - 7 = 0$
Gọi $E(x_1;y_1)$ là điểm đối xứng của $C$ qua đường phân giác $AD$ thì $E \in AB$. Khi đó
$\overrightarrow {CE} \left( {{x_1} - 4;{y_1} - 3} \right)$là pháp véc tơ của đường thẳng $AD $và trung điểm của đoạn $CE$ thuộc $AD$ nên ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
- 2({x_1} - 4) + \left( {{y_1} - 3} \right) = 0\\
\frac{{{x_1} + 4}}{2} + \left( {{y_1} + 3} \right) - 5 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow E(2; - 1)\Rightarrow \overrightarrow{AE}(-7;1)$
Vậy pt cạnh $AB$ là: $x + 7y + 5 = 0$
Gọi tọa độ $B$ là $B(x_2 ;y_2)$. Trung điểm $M$ của $BC$ thuộc trung tuyến đã cho nên ta có :
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_2} + 7{y_2} + 5 = 0\\
4\left( {\frac{{{x_2} + 4}}{2}} \right) + 13\left( {\frac{{{y_2} + 3}}{2}} \right) - 10 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow B( - 12;1)\Rightarrow \overrightarrow{BC}(16;2)$
Vậy phương trình đường thẳng $BC$ là :
$\frac{{x + 12}}{{16}} = \frac{{y - 1}}{2} \Leftrightarrow x - 8y + 20 = 0$

Bài 105845

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105845

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng pp đại số

Lý thuyết liên quan