Bài 105845

Question

$1.$ Cho hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} {\log _2}(x + y) + {\log _a}(x - y) = 1\\ x^2 - y^2 = a \end{array} \right.$ , với

$a$ là số dương khác

$1$ . Xác định

$a$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và giải hệ phương trình trong trường hợp đó.

$2.$ Viết phương trình ba cạnh của tam giác

$ABC$ trong mặt phẳng

$Oxy$ , cho biết đỉnh

$C(4;3)$ , đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là:

$x + 2y - 5 = 0\,\,\,;\,\,\,4x + 13y - 10 = 0$

score 0 · Answer 1

$1.$ Hệ pt có thể viết lại:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {\log _2}(x + y) + {\log _a}2{\log _2}(x - y) = 1\\ \left( {x - y} \right)(x + y) = a \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _2}(x + y) + {\log _a}2{\log _2}\frac{a}{{x + y}} = 1\\ \left( {x - y} \right)(x + y) = a \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {1 - {{\log }_a}2} \right){\log _2}\left( {x + y} \right) = 0\,\,\,(1)\\ \left( {x - y} \right)(x + y) = a\,\,\,\,(2) \end{array} \right. \end{array}$
+ Nếu

$a = 2$ thì (

$1$ ) đúng với mọi

$x, y$ thỏa mãn

$x + y > 0$
Và hệ đã cho tương đương với:

$\left\{ \begin{array}{l} x + y > 0\\ (x + y)(x - y) = 2 \end{array} \right.$
Hệ này có ít nhất

$2$ nghiệm là

$\left( {\sqrt 2 ;0} \right);\left( {\sqrt 3 ;1} \right)$
Vậy với

$a = 2$ thì hệ này ko có nghiệm duy nhất.
+ Nếu

$a \ne 2$ thì hệ đã cho tương đương với:

$\left\{ \begin{array}{l} x + y = 1\\ x - y = a \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{1 + a}}{2}\\ y = \frac{{1 - a}}{2} \end{array} \right.$
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất với mọi

$a > 0;a \ne 1;a \ne 2$

$2.$

Nhận thấy điểm

$C(4;3)$ không phải là đỉnh xuất phát của các đường phân giác và trung tuyến đã cho. Gọi

$A$ là đỉnh này thì tọa độ của

$A$ là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{array}{l} x + 2y - 5 = 0\\ 4x + 13y - 10 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow A(9; - 2)$
Vậy pt cạnh

$AC$ là:

$\frac{{x - 4}}{5} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} \Leftrightarrow x + y - 7 = 0$
Gọi

$E(x_1;y_1)$ là điểm đối xứng của

$C$ qua đường phân giác

$AD$ thì

$E \in AB$ . Khi đó

$\overrightarrow {CE} \left( {{x_1} - 4;{y_1} - 3} \right)$ là pháp véc tơ của đường thẳng

$AD$ và trung điểm của đoạn

$CE$ thuộc

$AD$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} - 2({x_1} - 4) + \left( {{y_1} - 3} \right) = 0\\ \frac{{{x_1} + 4}}{2} + \left( {{y_1} + 3} \right) - 5 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow E(2; - 1)\Rightarrow \overrightarrow{AE}(-7;1)$
Vậy pt cạnh

$AB$ là:

$x + 7y + 5 = 0$
Gọi tọa độ

$B$ là

$B(x_2 ;y_2)$ . Trung điểm

$M$ của

$BC$ thuộc trung tuyến đã cho nên ta có :

$\left\{ \begin{array}{l} {x_2} + 7{y_2} + 5 = 0\\ 4\left( {\frac{{{x_2} + 4}}{2}} \right) + 13\left( {\frac{{{y_2} + 3}}{2}} \right) - 10 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow B( - 12;1)\Rightarrow \overrightarrow{BC}(16;2)$
Vậy phương trình đường thẳng

$BC$ là :

$\frac{{x + 12}}{{16}} = \frac{{y - 1}}{2} \Leftrightarrow x - 8y + 20 = 0$

Bài 105845

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105845

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng pp đại số

Lý thuyết liên quan