Bài 101599

Question

Giải các hệ :

$\begin{array}{l} 1)\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} {2^{{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {x + y} \right)}} = {5^{{{\log }_5}\left( {x - y} \right)}}\\ {\log _2}x + {\log _2}y = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ 2)\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} {\log _2}xy.{\log _2}\frac{x}{y} = - 3\\ \log _2^2x + \log _2^2y = 5 \end{array} \right.\\ 3)\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 1 + 6{\log _4}x\\ {y^2} = {2^x}.y + {2^{2x + 1}} \end{array} \right.\\ 4)\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} {\log _2}x + {\log _4}y + {\log _4}z = 2\\ {\log _3}y + {\log _9}z + {\log _9}x = 2\\ {\log _4}z + {\log _{16}}x + {\log _{16}}y = 2 \end{array} \right. \end{array}$

score 1 · Answer 1

$1.$
Điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{l} 1\ne x>0\\ 1\ne y>0\\x-y>0 \end{array} \right.$
Hệ đã cho tương đương với:

$\left\{ \begin{array}{l} \frac 1{x+y}=x-y\\ xy=\sqrt{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1=x^2-y^2\\ y=\frac{\sqrt2}x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^4-x^2-2=0\\ y=\frac{\sqrt2}x \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2=2\vee x^2=-1(loại)\\ y=\frac{\sqrt2}x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\sqrt2\\ y=1 \end{array} \right.$
Đáp số:

$(\sqrt2,\,\,1)$

$2)$
Điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{l} x>0\\y>0 \end{array} \right.$
Hệ đã cho tương đương với:

$\left\{ \begin{array}{l} (\log_2x+\log_2y)(\log_2x-\log_2y)=-3\\ (\log_2x)^2+(\log_2y)^2=5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (\log_2x)^2-(\log_2y)^2=-2\\ (\log_2x)^2+(\log_2y)^2=5 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (\log_2x)^2=1\\ (\log_2y)^2=4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \log_2x=\pm 1\\ \log_2y=\pm2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2\vee x=\frac 12\\ y=4\vee \frac14 \end{array} \right.$
Vậy hệ có

$4$ nghiệm:

$(2;4)(\frac12;4)(2;\frac14)(\frac12; \frac14)$

$3)$
Điều kiện:

$x>0$
Ta có,

$x^2=1+6\log_4x\Leftrightarrow x^2-1-3\log_2x=0$
Đặt

$f(x)=x^2-1-3\log_2x$ (với

$x>0$ )
ta có:

$f'(x)=2x-\frac3{x\ln 2}\\ f'(x)=0\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac3 {2\ln 2}}$
Với

$0<x<\sqrt{\frac3 {2\ln 2}}$ thì nhận thấy

$f(x)$ nghịch biến. Có

$f(1)=0\Leftrightarrow x=1$ là nghiệm duy nhất trong khoảng

$(0;\sqrt{\frac3 {2\ln 2}})$
Khi

$x=1$ ta có:

$y^2=2y+8\Leftrightarrow y=4\vee y=-2 (loại)$
Với

$\sqrt{\frac3 {2\ln 2}}<x$ thì nhận thấy

$f(x)$ đồng biến. Lại có:

$f(2)=0\Rightarrow x=2$ là nghiệm duy nhất trong khoảng

$(\sqrt{\frac3 {2\ln 2}};+\infty)$
Khi

$x=2$ ta có:

$y^2=4y+32\Leftrightarrow y=8\vee y=-4 (loại)$
Vậy nghiệm

$(x,y)$ của hệ là:

$(1;4);(2;8)$

$4)\,\,$ Điều kiện:

$x,\,y,\,z\, > 0$
Hệ đã cho tương đương với:

$\left\{ \begin{array}{l} {\log _2}x\sqrt {yz} = 2\\ {\log _3}y\sqrt {xz} = 2\\ {\log _4}z\sqrt {xy} = 2 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} {x^2}yz = 16\\ {y^2}xz = 81\\ {z^2}xy = 256 \end{array} \right.$
Suy ra:

$(xyz)^4=16.81.256\Rightarrow xyz=24 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{16}{24}=\frac23\\ y=\frac{81}{24}=\frac{27}{8}\\z=\frac{256}{24}=\frac{32}{3} \end{array} \right.$
Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy nghiệm

$(x,y,z)$ của hệ là:

$\left( {\frac{2}{3},\,\frac{{27}}{8},\,\frac{{32}}{3}} \right)$

Bài 101599

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101599

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng pp đại số

Lý thuyết liên quan