Bài 105721

Question

Cho hàm số: $y = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Từ đồ thị trên, hãy suy ra số nghiệm $x \in \left( {0 ; \frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình
$1+\sin x+\cos x+\frac{1}{2}(\tan x + \cot x +\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x})=m$
tùy theo giá trị của tham số $m$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 3:35:05 PM

$1)$ $y = x + 1 + \frac{1}{{x - 1}}$
Hàm số xác định với $x \ne 1$. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$, tiệm cận xiên $y = x + 1$.
Ta có: $y' = 1 - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{{(x - 1)}^2} - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}$
Bạn đọc vẽ bảng biến thiên và đồ thị

$2)$ Phương trình đã cho tương đương với
$1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x + \frac{{1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}{{2\sin x\cos x}} = m$ $(1)$
Đặt $t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \sqrt 2 c{\rm{os}}(x - \pi /4)$, khi đó do $0 < x < \pi /2$ nên $1 < t \le \sqrt 2 $ và $(1)$ trở thành
$t + 1 + \frac{1}{{t - 1}} = m$
Ta có vế trái có đồ thị vẽ ở phần $1$, $y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)$. Từ đó ta có :
với $m = 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)$ thì $t = \sqrt 2 $: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất $\pi /4$.
Với $m > 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)$ thì $1 < t < \sqrt 2 $ : phương trình đã cho có $2 $ nghiệm ${x_1},{x_2}$ là $0 < {x_1} < \pi /4,{\rm{ }}\pi /4 < x < \pi /2$

Bài 105721

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105721

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan