Bài 105712

Question

Cho hàm số: $y=\frac{x^2-|x|+2}{|x|-1} $
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2) Biện luận theo $a$ số nghiệm $x < 0$ của phương trình $\frac{x^2-|x|+2}{|x|-1} =ax-a+1$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 3:14:14 PM

$1)$ Ta viết lại hàm số dưới dạng $y = \left| x \right| + \frac{2}{{\left| x \right| - 1}}$
Hàm số xác định với $x \ne \pm 1$, tiệm cận xiên $y = \pm x$.
Dễ nhận thấy rằng $y$ là hàm chẵn $ \Rightarrow $đồ thị đối xứng qua trục $Oy$ $ \Rightarrow $ chỉ cần vẽ phần đồ thị với $x \ge 0$, sau đó lấy đối xứng qua trục $Oy$.
Với $x \ge 0$ ta có
        $y = x + \frac{2}{{x - 1}}$,
        $y' = 1 - \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{{(x - 1)}^2} - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}}$
Vẽ bảng biến thiên và đồ thị

$2)$ Dễ nhận thấy rằng đường thẳng $y = a(x - 1) + 1$ luôn đi qua điểm $(1{\rm{ ; 1)}}$,$\forall a$.
Do đó để biện luận số nghiệm âm của phương trình đã cho, trước hết ta xác định các tiếp tuyến của đồ thị phần $1)$ với $x < 0$ đi qua điểm $(1{\rm{ , 1)}}$và đường thẳng qua $2$ điểm $(1{\rm{ , 1), }}(0{\rm{ , 2)}}$.
Với $x < 0$ ta có $y = - \frac{{{x^2} + x + 2}}{{x + 1}}$, do đó đường thẳng $y = a(x - 1) + 1$ tiếp xúc với đồ thị hàm số ($x < 0$) khi phương trình $ - \frac{{{x^2} + x + 2}}{{x + 1}} = a(x - 1) + 1$ có nghiệm kép $ \ne - 1$, tức là phương trình $(1 + a){x^2} + 2x + 3 - a = 0$ có nghiệm kép $ \ne - 1$.
    $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 + a \ne 0\\
(1 + a){.1^2} + 2( - 1) + 3 - a \ne 0\\
\Delta ' = 1 - (1 + a)(3 - a) = 0
\end{array} \right.{\rm{        }} \Leftrightarrow {\rm{a = 1}} \pm \sqrt 3 $.
Đường thẳng đi qua 2 điểm $(1{\rm{ , 1), }}(0{\rm{ , 2)}}$ có phương trình   $y = 3(x - 1) + 1$.

Từ đó ta có kết quả biện luận sau đối với phương trình đã cho:
$a < - 1$: có $2$ nghiệm âm,
$ - 1 \le a \le 1 - \sqrt 3 $ : có $1$ nghiệm âm;
$1 - \sqrt 3 $ : có $1$ nghiệm âm;
$1 - \sqrt 3 \le a \le 1 + \sqrt 3 $: không có nghiệm âm;
$a = 1 + \sqrt 3 < a < 3$ có $ 2$ nghiệm âm;
$a \ge 3$: có $1$ nghiệm âm

Bài 105712

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105712

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan