Bài 105692

Question

Cho hàm số: $y = \frac{{2{x^2} + ( {1 - m} )x + 1 + m}}{{x - m}}$            (1)
1)    Với $m = 1$, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2)    Chứng minh rằng với mọi $m \ne - 1$, đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định.
3)    Xác định $m$ để hàm số (1) là đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 2:14:09 PM

$1)$    Dành cho bạn đọc.

$2)$    Viết lại hàm số dưới dạng:
$y = 2x + m + 1 + \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{x - m}}$
Từ đó:   $y' = 2 - \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$
Đồ thị của hàm số luôn tiếp xúc với đường thẳng ${y_1} = {\rm{ax + b}}$. Ta có $y'\left( 1 \right) = 1,\forall m \ne - 1 \Rightarrow a = 1.$ Khi đó $b = y\left( { - 1} \right) - 1.\left( { - 1} \right) = - 1,\left( {\forall m \ne - 1} \right)$.
Vậy đường thẳng cố định cần tìm là ${y_1} = x - 1$ và tiếp điểm cố định là $\left( { - 1, - 2} \right)$.

$3)$    Viết lại $y’$ dưới dạng
$y' = \frac{{2{{\left( {x - m} \right)}^2} - {{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$
    $ = \frac{{2\left[ {x - \frac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)m + 1}}{{\sqrt 2 }}} \right]\left[ {x - \frac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)m - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right]}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$
$y$ đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ khi $y' \ge 0$ trên khoảng đó
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)m + 1}}{{\sqrt 2 }} \le 1\\
\frac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)m + 1}}{{\sqrt 2 }} \le 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 3 - 2\sqrt 2 \\
m \le 3 + 2\sqrt 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 3 - 2\sqrt 2 $

Bài 105692

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105692

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan