Bài 105687

Question

Cho hàm số    $y = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}$
1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số
2)    Có nhận xét gì về các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị $(C)$ từ các điểm trên đường thẳng $y = 7$
3)    Chứng minh rằng trên đường thẳng $y = 7$, có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến đồ thị $(C)$ hai tiếp tuyến lập với nhau góc $45^o$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 1:52:05 PM

$1)$    Dành cho bạn đọc.

$2)$    $y = 2x + 1 + \frac{2}{{x - 1}}$
        $y' = 2 - \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
Ta có $y'\left( 2 \right) = 0,y\left( 2 \right) = 7 \Rightarrow y = 7$ là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Do đó trong các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị hàm số từ các điểm trên đường thẳng $y = 7$ thì đường thẳng này là một tiếp tuyến cố định.

$3)$    Vì $y = 7$ là một tiếp tuyến và là đường thẳng nằm ngang, nên tiếp tuyến thứ $2$ lặp với nó một góc ${45^o}$ phải có hệ số góc $ \pm tan{45^o} = \pm 1$.
Gọi $M\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ 2 với đồ thị, ta có:
$ \pm 1 = y'\left( {{x_0}} \right) = 2 - \frac{2}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow {x_0} = 1 \pm \sqrt 2 ,{x_0} = 1 \pm \sqrt {2/3.} $
Như vậy trên đồ thị có $4$ điểm tại đó tiếp tuyến có hệ số góc $ \pm 1$. Bốn tiếp tuyến này cắt đường thẳng $y = 7$ tại $4$ điểm. Đó là điều cần chứng minh

Bài 105687

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105687

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan