Bài 105686

Question

Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2}\cos \alpha + 2x\sin \alpha + 1}}{{x + 2}}$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $\alpha = 0$.
2) Xác định $\alpha $ để đường tròn có tâm ở gốc tọa độ và tiếp xúc với tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có bán kính lớn nhất

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 1:49:03 PM

$1)$    Dành cho bạn đọc.

$2)$    Viết lại hàm số đã cho dưới dạng
$y = - x\cos \alpha + 2\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right) - \frac{{4\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right) + 1}}{{x + 2}}$
Khi đó ta có phương trình tiệm cận xiên là
$d:y = - x\cos \alpha + 2\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)$
Bán kính đường tròn có tâm tại gốc tọa độ $O$ và tiếp xúc với tiệm cận xiên $d$ của đồ thị là khoảng cách từ $O$ đến $d$:
$R = \frac{{2\left| {\cos \alpha - \sin \alpha } \right|}}{{\sqrt {1 + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\alpha } }}$
$R$ lớn nhất $ \Leftrightarrow R = 4{\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)^2}/\left( {1 + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\alpha } \right)$ lớn nhất     $(1)$
Đặt $t = \tan\alpha $ khi đó $(1)$ trở thành: $y = {R^2} = 4{\left( {1 - t} \right)^2}/\left( {2 + {t^2}} \right)$                $(2)$
Hàm số xác định với mọi $t$. Ta tìm miền giá trị của $y$:
$(2)$ $ \Leftrightarrow \left( {4 - y} \right){t^2} - 8t + 4 - 2y = 0$
a)    $y = 4 \Leftrightarrow t = - 1/2.$
b)    $y \ne 4$:
$ \Rightarrow \Delta ' = 16 - \left( {4 - y} \right)\left( {4 - 2y} \right) = 12y - 2{y^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le y \le 6.$
Vậy $\max R = \sqrt {m{\rm{axy }}} {\rm{ = }}\sqrt {\rm{6}} $ được khi $t = - 2$, tức là khi
Dấu = xảy ra khi $tan\alpha = - 2 = tan\varphi \Leftrightarrow \alpha = \varphi + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Bài 105686

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105686

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan