Bài 105671

Question

Cho hàm số

$y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2)

$A$ là điểm trên đồ thị có hoành độ

$a$ . Viết phương trình tiếp tuyến

$\left( {{t_a}} \right)$ của đồ thị tại điểm

$A$ .
3) Xác định

$a$ để

$\left( {{t_a}} \right)$ đi qua điểm

$(1;0)$ . Chứng tỏ rằng có hai giá trị của

$a$ thỏa mãn điều kiện của bài toán, và hai tiếp tuyến tương ứng là vuông góc với nhau

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 11:37:29 AM

$1)$ Dành cho bạn đọc.

$2)$ Điểm

$A$ có hoành độ

$a$ , tung độ sẽ là

$\frac{{{a^2} + 2a + 2}}{{a + 1}}$
Khi đó ta có phương trình tiếp tuyến

${t_a}$ với đồ thị tại

$A$ :

$\begin{array}{l} y = y'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + \frac{{{a^2} + 2a + 2}}{{a + 1}}\\ = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \frac{{{a^2} + 2a + 2}}{{a + 1}} \end{array}$

$3)$

${t_a}$ đi qua điểm

$\left( {1,0} \right)$ nên

$\begin{array}{l} 0 = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\left( {1 - a} \right) + \frac{{{a^2} + 2a + 2}}{{a + 1}}\\ \Leftrightarrow {a^2} + 3a + 1 = 0 \Leftrightarrow {a_1} = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2},{a_2} = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2} \end{array}$
Tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ

${a_1}$ có hệ số góc

${k_1} = \frac{{{{\left( {{a_1} + 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {{a_1} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {{a_1} + 2} \right){a_1}}}{{\left( {{a_1} + 1} \right)}}$
Tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ

${a_2}$ có hệ số góc

${k_2} = \frac{{{{\left( {{a_2} + 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {{a_2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {{a_2} + 2} \right){a_2}}}{{\left( {{a_2} + 1} \right)}}$
Ta có

${k_1}{k_2} = \frac{{{a_1}{a_2}\left( {{a_1} + 2} \right)\left( {{a_2} + 2} \right)}}{{{{\left[ {\left( {{a_1} + 1} \right)\left( {{a_2} + 1} \right)} \right]}^2}}}$

$(1)$
Theo định lí Viet ta có

${{\rm{a}}_{\rm{1}}}{{\rm{a}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 1, }}{{\rm{a}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{a}}_{\rm{2}}} = - 3$ . Từ đó ta có:

$\begin{array}{l} \left( {{{\rm{a}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 1}}} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{a}}_{\rm{2}}} + 2} \right) = {{\rm{a}}_{\rm{1}}}{{\rm{a}}_{\rm{2}}} + \left( {{{\rm{a}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{a}}_{\rm{2}}}} \right) + 1 = 1 - 3 + 1 = - 1;\\ \left( {{{\rm{a}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{a}}_{\rm{2}}} + 2} \right) = {{\rm{a}}_{\rm{1}}}{{\rm{a}}_{\rm{2}}} + 2\left( {{{\rm{a}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{a}}_{\rm{2}}}} \right) + 4 = 1 - 2.3 + 4 = - 1. \end{array}$
Thế vào

$(1)$ ta có

${k_1}{k_2} = \frac{{1.\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}} =- 1$ , chứng tỏ hai tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau.

Bài 105671

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105671

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan