Bài 105660

Question

Xem hàm số

$y = \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{2x - 2}}$
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2)

$M$ là một điểm tùy ý thuộc đồ thị.Tiếp tuyến của đồ thị tại

$M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại

$A$ và

$B$ . Chứng tỏ rằng

$M$ là trung điểm của đoạn

$AB$ , và tam giác

$IAB$ , với

$I$ là giao điểm của hai tiệm cận, có diện tích không phụ thuộc vào

$M$ .
3) Tìm trên đồ thị hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng

$y = x$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 11:15:07 AM

$1)$ Dành cho bạn đọc.

$2)$ Kí hiệu

${x_M} = a$ là hoành độ của

$M$ . Khi đó

$M$ có tung độ

${y_M} = \frac{a}{2} - 1 + \frac{1}{{a - 1}}$
và tại

$M$ tiếp tuyến có hệ số góc

$y'\left( a \right) = 1/2 - 1/{\left( {a - 1} \right)^2}$ .
Từ đó ta có phương trình tiếp tuyến tại

$M$ :

$y = \left[ {\frac{1}{2} - \frac{1}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {x - a} \right) + \left( {\frac{a}{2} - 1 + \frac{1}{{a - 1}}} \right)$
Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại

$A$ với tọa độ

${x_A} = 1$ .

${y_A} = \left[ {\frac{1}{2} - \frac{1}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {1 - a} \right) + \left( {\frac{a}{2} - 1 + \frac{1}{{a - 1}}} \right) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{{a - 1}}$
và cắt tiệm cận xiên tại với tọa độ

${y_B} = \left[ {\frac{1}{2} - \frac{1}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {{x_B} - a} \right) + \left( {\frac{a}{2} - 1 + \frac{1}{{a - 1}}} \right) = \frac{B}{2} - 1$

$\Rightarrow \frac{{{x_B} - a}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{a - 1}} \Rightarrow {x_B} = 2a - 1$ , do đó

${y_B} = a - 3/2$ .
Ta có

$\frac{1}{2}\left( {{x_A} + {x_B}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + 2a - 1} \right) = a = {x_M},$

$\frac{1}{2}\left( {{y_A} + {y_B}} \right) = \frac{1}{2}\left[ { - \frac{1}{2} + \frac{2}{{a - 1}} + a - \frac{3}{2}} \right] = \frac{a}{2} - 1 + \frac{1}{{a - 1}} = {y_M},$ chứng tỏ

$M$ là trung điểm của

$AB$ .
Giao điểm

$I$ của các tiệm cận có tọa độ

${x_1} = 1,{y_1} = \left( {1/2} \right) - 1 = - 1/2$ . Vậy

$\Delta IAB$ có diện tích

$S = \frac{1}{2}\left| {{y_A} - {y_1}} \right|.\left| {{x_A} + {x_1}} \right| = \frac{1}{2}.\frac{2}{{a - 1}}.\left| {2a - 2} \right| = 2$

$3)$ Gọi

${x_1},{x_2}$ là hoành độ hai điểm

$M, N$ của đồ thị đối xứng với nhau qua đường thẳng

$y = x$ . Thế thì

${x_2},{x_1}$ là tung độ của hai điểm

$M, N$ .
Đường thẳng

$MN$ vuông góc với đường thẳng

$y = x$ nên có hệ số góc

$-1$ , vậy có phương trình

$y = - x + k$ . Ta có

${x_2} = - {x_1} + k \Rightarrow k = {x_1} + {x_2}$ .

$M, N$ thuộc đồ thị nên

${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình

$\frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{2x - 2}} = - x + k \Leftrightarrow 3{x^2} - \left( {5 + 2k} \right)x + 4 + 2k = 0$ .

$(1)$
Theo định lí Viet ta có

$k = {x_1} + {x_2} = \left( {5 + 2k} \right)/3 \Rightarrow k = 5$ .
Với

$k = 5\Rightarrow$ (1) trở thành

$3{x^2} - 15x + 14 = 0$ . Giải ra ta có

${x_{1,2}} = \frac{{15 \pm \sqrt {57} }}{6}$

Bài 105660

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105660

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan