Bài 105641

Question

Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước là $a, b$ người ta cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gò thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp có dung tích (thể tích) lớn nhất?

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 10:20:02 AM

Gọi $x$ là cạnh của hình vuông cắt đi.
Dễ thấy thể tích hình hộp $V = x(b - 2x)(a - 2x),0 < x < a/2$
Ta có
$\begin{array}{l}
V' = \left( {b - 2x} \right)\left( {a - 2x} \right) - 2x\left( {a - 2x} \right) - 2x\left( {b - 2x} \right) = 12{x^2} - 4\left( {a + b} \right)x + ab\\
\Delta ' = 4{\left( {a + b} \right)^2} - 12ab = 4\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right) > 0
\end{array}$
$ \Rightarrow V'$ triệt tiêu tại: ${x_{1.2}} = \left[ {\left( {a + b} \right) \pm \sqrt {{a^2} + {b^2} - ab} } \right]/6$

Theo định lí Viet: ${x_1}{x_2} = ab/12 > 0,{x_1} + {x_2} = \left( {a + b} \right)/6 > 0 \Rightarrow {x_1,x_2} > 0$.
Không giảm tính tổng quát có thể xem $a < b$.
Do $V'\left( {a/2} \right) = {a^2} - ab = a\left( {a - b} \right) < 0$ nên $0<{{\rm{x}}_{\rm{1}}} < a/2 < {x_2}.$
Lại do dấu của tam thức bậc hai ta có $V$ đạt cực đại tại $x_1$. Do đó $V$ lớn nhất khi
Trường hợp $a = b$ ta có $0 < {x_1} < {x_1} = a/2$. Do đó $V$ lớn nhất khi $x = {x_1} = a/6$.
Vậy trong mọi trường hợp ta đều có:
$V$ lớn nhất khi $x = \left( {a + b - \sqrt {{a^2} + {b^2} - ab} } \right)/6$

Bài 105641

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105641

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan