|
|
a) $\Delta ABC$ vuông hay tù, dễ nhận thấy rằng hình trọn có bán kính nhỏ nhất chứa tam giác ấy là hình tròn có đường kính là cạnh huyền hay cạnh đối diện với góc tù.
b) $\Delta ABC$nhọn.
Ta chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy sẽ có bán kính nhỏ nhất. Gọi $O$ là tâm hình tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$,$A',B',C'$ là trung điểm của $BC,AC,AB $
$\Rightarrow $ bán kính $R = OC = OB = OA$ và $O$ là giao điểm của $3$ đường trung trực $OA',OB',OC'$.
Xét một hình tròn tâm $O’$, bán kính $R’$ chứa $\Delta ABC$, chỉ cần xét trường hợp $O' \equiv O$.
Ta có $R' \ge m{\rm{ax}}\left\{ {OA',OB',OC'} \right\}$
Các tia $OA',OB',OC'$ chia mặt phẳng ra $3$ phần. Do $A, B, C$ có vai trò như nhau nên có thể xem rằng $O’$ thuộc mặt chắn bới hai tia $OB’$ và $OC’$
Gọi $H$ là hình chiếu của $O’$ trên $BC$. Do các góc $B, C$ là nhọn và các tứ giác $BA’OC’,CA’OB’$ nội tiếp các góc $\mathop {\widehat {C'OA'}}\limits^{} ,\widehat {B'OA'}$ là tù $ \Rightarrow O'H > OA'$.
Không giảm tính tổng quát, có thể xem $O’$ nằm trong phần mặt chắn bởi hai tia $OC’$ và $A’O$ kéo dài. Khi đó $O'H > OA'$, $HC \ge A'C$, nên $O'C > OC \Rightarrow R' > R$
|
|
|
Đăng bài 25-05-12 10:15 AM
|
|