Bài 105635

Question

Cho

$y=\sqrt{acos^2x+bsin^2x+c}+\sqrt{asin^2x+bcos^2x+c}$
Với

$a > 0,b > 0,c > 0$ . Tìm

$\min y, \max y$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 10:02:13 AM

• Tính

$\max y$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$y \le \sqrt 2 \sqrt {a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c + a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c} = \sqrt 2 \sqrt {a + b + 2c}$
Dấu = xảy ra khi

$a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c = a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c$
Chẳng hạn như

$\sin x = \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
Vậy

$\max y = \sqrt 2 \sqrt {a + b + 2c}$

• Tính

$\min y$
Do

$y > 0$ nên ta xét:

$z = {y^2} = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a\cos {x^2} + b\sin {x^2} + c} \right)\left( {a\sin {x^2} + b\cos {x^2} + c} \right)}$

$= a + b + 2c + 2\sqrt {\left[ {a + c - \left( {a - b} \right)\sin {x^2}} \right].\left[ {b + c + \left( {a - b} \right)\sin {x^2}} \right]}$

$(1)$
Chỉ cần tìm

$min$ của biểu thức trong căn, đặt

${\sin ^2}x = t \in \left[ {0;1} \right]$ ta được biểu thức đó là :

$u = \left[ {a + c - \left( {a - b} \right)t} \right].\left[ {b + c - \left( {a - b} \right)t} \right]$ với

$t \in \left[ {0;1} \right]$

$u' = ... = - 2{\left( {a - b} \right)^2}t + {\left( {a - b} \right)^2}$

$(2)$
Trường hợp

$a = b$ thì

$u' \equiv 0 \Rightarrow u =$ hằng

$\Rightarrow z =$ hằng.

$\Rightarrow$ từ

$(1)$ có

$z = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a + b} \right).\left( {b + c} \right)} = {\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} } \right)^2}$

$\Rightarrow y = \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c}$ nên

$\min y = \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} = 2\sqrt {\left( {a + b} \right)}$
Trường hợp

$a \ne b$ : từ

$(2)$

$u'$ có nghiệm là

$t = \frac{1}{2}$ và đổi dấu qua

$t = \frac{1}{2}$ từ + sang – nên:

$min u = min \left\{ {u\left( 0 \right);u\left( 1 \right)} \right\} = \min \left\{ {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right);\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} \right\} = \left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)$
Suy ra

$\min z = a + b + 2c + 2\sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} = {\left( {\sqrt {a + c} + \sqrt {b + c} } \right)^2}$

$\Rightarrow min z = \sqrt {a + c} + \sqrt {b + c}$ vẫn như trường hợp

$a = b$

Bài 105635

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105635

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan