Bài 105572

Question

1) Cho ${x^2} + {y^2} = 16,u^2 + {v^2} = 25,xu + yv \ge 20$. Tìm giá trị lớn nhất của $x + v$.
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $y - 2x + 5$, biết rằng $x, y$ thay đổi và thỏa mãn phương trình: $36{x^2} + 16{y^2} = 9$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 4:34:33 PM

$1)$ Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki:
${(xu + yv)^2} \le ({x^2} + {y^2})({u^2} + {v^2}) = 16.25 = {20^2}{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{xu}} + yv \le 20$
Lại do $xu + yv \ge 20$ ta có $xu + yv = 20$.
Do ${x^2} + {y^2} = 16,{\rm{ }}{{\rm{u}}^2} + {v^2} = 25$ nên có thể đặt $x = 4\cos \alpha ,{\rm{ y}} = 4\sin \alpha $;
Khi đó ta có:
$\begin{array}{l}
     20 = xu + yv = 20(c{\rm{os}}\alpha c{\rm{os}}\beta + \sin \alpha \sin \beta )
= 20\cos (\alpha - \beta ){\rm{ }} \\\Leftrightarrow {\rm{cos(}}\alpha - \beta ) = 1 \Leftrightarrow \alpha - \beta = 2k\pi {\rm{ (k}} \in {\rm{Z)}}
\end{array}$
Từ đó:
$x + v = 4\cos \alpha + 5\sin \beta = 4\cos \alpha + 5\sin \alpha $
          $ = \sqrt {{4^2} + {5^2}} \left( {\frac{4}{{\sqrt {{4^2} + {5^2}} }}c{\rm{os}}\alpha + \frac{5}{{\sqrt {{4^2} + {5^2}} }}\sin \alpha } \right) = \sqrt {41} c{\rm{os(}}\alpha - \gamma )$
Trong đó $c{\rm{os}}\gamma = 4/\sqrt {41} ,{\rm{ sin}}\gamma = 5/\sqrt {41} $. Vậy $m{\rm{ax}}(x + v) = \sqrt {41} $ đạt được tại $\alpha - \gamma = 2k\pi \Leftrightarrow \alpha = \gamma + 2k\pi {\rm{ (k}} \in {\rm{Z)}}$.

$2)$ Ta có:
    $36{x^2} + 16{y^2} = 9 \Leftrightarrow {2^2}{x^2} + {(4/3)^2}{y^2} = 1$            $(1)$
Đặt $x = \frac{1}{2}\cos t,{\rm{ y}} = \frac{3}{4}\sin t$: thỏa mãn $(1)$ với mọi $t$ khi đó $\begin{array}{l}
z = y - 2x + 5 = \frac{3}{4}\sin t - \cos t + 5\\
= \sqrt {{{(3/4)}^2} + 1} \left( {\frac{{3/4}}{{\sqrt {{{(3/4)}^2} + 1} }}\sin t - \frac{1}{{\sqrt {{{(3/4)}^2} + 1} }}\cos t} \right) + 5
\end{array}$
$ = - (5/4){\mathop{\rm c}\nolimits} {\rm{os}}(t + \alpha ) + 5$, trong đó $\sin \alpha = 3/5,{\rm{ cos}}\alpha = 4/5$

$ \Rightarrow \max z = 5/4 + 5 = 25/4,\min z = - 5/4 + 5 = 15/4$

Bài 105572

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105572

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan