Bài 105572

Question

1) Cho

${x^2} + {y^2} = 16,u^2 + {v^2} = 25,xu + yv \ge 20$ . Tìm giá trị lớn nhất của

$x + v$ .
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

$y - 2x + 5$ , biết rằng

$x, y$ thay đổi và thỏa mãn phương trình:

$36{x^2} + 16{y^2} = 9$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 4:34:33 PM

$1)$ Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki:

${(xu + yv)^2} \le ({x^2} + {y^2})({u^2} + {v^2}) = 16.25 = {20^2}{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{xu}} + yv \le 20$
Lại do

$xu + yv \ge 20$ ta có

$xu + yv = 20$ .
Do

${x^2} + {y^2} = 16,{\rm{ }}{{\rm{u}}^2} + {v^2} = 25$ nên có thể đặt

$x = 4\cos \alpha ,{\rm{ y}} = 4\sin \alpha$ ;
Khi đó ta có:

$\begin{array}{l} 20 = xu + yv = 20(c{\rm{os}}\alpha c{\rm{os}}\beta + \sin \alpha \sin \beta ) = 20\cos (\alpha - \beta ){\rm{ }} \\\Leftrightarrow {\rm{cos(}}\alpha - \beta ) = 1 \Leftrightarrow \alpha - \beta = 2k\pi {\rm{ (k}} \in {\rm{Z)}} \end{array}$
Từ đó:

$x + v = 4\cos \alpha + 5\sin \beta = 4\cos \alpha + 5\sin \alpha$

$= \sqrt {{4^2} + {5^2}} \left( {\frac{4}{{\sqrt {{4^2} + {5^2}} }}c{\rm{os}}\alpha + \frac{5}{{\sqrt {{4^2} + {5^2}} }}\sin \alpha } \right) = \sqrt {41} c{\rm{os(}}\alpha - \gamma )$
Trong đó

$c{\rm{os}}\gamma = 4/\sqrt {41} ,{\rm{ sin}}\gamma = 5/\sqrt {41}$ . Vậy

$m{\rm{ax}}(x + v) = \sqrt {41}$ đạt được tại

$\alpha - \gamma = 2k\pi \Leftrightarrow \alpha = \gamma + 2k\pi {\rm{ (k}} \in {\rm{Z)}}$ .

$2)$ Ta có:

$36{x^2} + 16{y^2} = 9 \Leftrightarrow {2^2}{x^2} + {(4/3)^2}{y^2} = 1$

$(1)$
Đặt

$x = \frac{1}{2}\cos t,{\rm{ y}} = \frac{3}{4}\sin t$ : thỏa mãn

$(1)$ với mọi

$t$ khi đó

$\begin{array}{l} z = y - 2x + 5 = \frac{3}{4}\sin t - \cos t + 5\\ = \sqrt {{{(3/4)}^2} + 1} \left( {\frac{{3/4}}{{\sqrt {{{(3/4)}^2} + 1} }}\sin t - \frac{1}{{\sqrt {{{(3/4)}^2} + 1} }}\cos t} \right) + 5 \end{array}$

$= - (5/4){\mathop{\rm c}\nolimits} {\rm{os}}(t + \alpha ) + 5$ , trong đó

$\sin \alpha = 3/5,{\rm{ cos}}\alpha = 4/5$

$\Rightarrow \max z = 5/4 + 5 = 25/4,\min z = - 5/4 + 5 = 15/4$

Bài 105572

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105572

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan