Bài 105536

Question

Xem hàm số: $y = 4{x^3} + (a + 3){x^2} + ax$
a) Tùy theo các giá trị của $a$. Hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số.
b) Xác định $a$ để $| y| \le 1$ khi $| x | \le 1$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 3:01:51 PM

a) Hàm số xác định với mọi $x$ và có: $y' = 12{x^2} + 2(a + 3)x + a$
Ta có $\Delta ' = {(a + 3)^2} - 12a = {(a - 3)^2} \ge 0$.
•    $\Delta ' = 0 \Leftrightarrow a = 3{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{y'}} \ge {\rm{0, }}\forall {\rm{x }} \Rightarrow $ hàm số $y$ luôn đồng biến
•    $\Delta ' = 0 \Leftrightarrow a \ne 3{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{y' = 0, }}x = - 1/2,{\rm{ x}} = - a/6$.
Vẽ bảng biến thiên:

b) Do $\left| x \right| \le 1$ nên ta đặt $x = \cos t$, khi đó: $y(t) = 4{\cos ^3}t + (a + 3)c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}t + a\cos t$
Điều kiện cần: Với $t = 0$ ta có:     $y(0) = 2a + 7$
Do $\left| {y(0)} \right| \le 1$ nên: $\left| {2a + 7} \right| \le 1{\rm{ }} \Leftrightarrow - 1 \le 2a + 7 \le 1{\rm{ }} \Leftrightarrow - 4 \le a \le - 3$    $(1)$
Với $t = \pi /3$ ta có $y(\pi /3) = (3a + 5)/4$. Lại do $\left| {y(\pi /3)} \right| \le 1$ nên
$\left| {\frac{{3a + 5}}{4}} \right| \le 1{\rm{ }} \Leftrightarrow - 1 \le \frac{{3a + 5}}{4} \le 1{\rm{ }} \Leftrightarrow   - 3 \le a \le - 1/3$    $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $a = - 3$.
Điều kiện đủ: Với $a = - 3$ ta có:
$\begin{array}{l}
y(t) = 4{\cos ^3}t - 3\cos t = c{\rm{os}}3t\\
\Rightarrow \left| {y(t)} \right| = \left| {c{\rm{os3t}}} \right| \le 1,{\rm{ }}\forall {\rm{t}}
\end{array}$

Đáp số: $a = - 3$

Bài 105536

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105536

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan