Bài 105536

Question

Xem hàm số:

$y = 4{x^3} + (a + 3){x^2} + ax$
a) Tùy theo các giá trị của

$a$ . Hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số.
b) Xác định

$a$ để

$| y| \le 1$ khi

$| x | \le 1$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 3:01:51 PM

a) Hàm số xác định với mọi

$x$ và có:

$y' = 12{x^2} + 2(a + 3)x + a$
Ta có

$\Delta ' = {(a + 3)^2} - 12a = {(a - 3)^2} \ge 0$ .
•

$\Delta ' = 0 \Leftrightarrow a = 3{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{y'}} \ge {\rm{0, }}\forall {\rm{x }} \Rightarrow$ hàm số

$y$ luôn đồng biến
•

$\Delta ' = 0 \Leftrightarrow a \ne 3{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{y' = 0, }}x = - 1/2,{\rm{ x}} = - a/6$ .
Vẽ bảng biến thiên:

b) Do

$\left| x \right| \le 1$ nên ta đặt

$x = \cos t$ , khi đó:

$y(t) = 4{\cos ^3}t + (a + 3)c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}t + a\cos t$
Điều kiện cần: Với

$t = 0$ ta có:

$y(0) = 2a + 7$
Do

$\left| {y(0)} \right| \le 1$ nên:

$\left| {2a + 7} \right| \le 1{\rm{ }} \Leftrightarrow - 1 \le 2a + 7 \le 1{\rm{ }} \Leftrightarrow - 4 \le a \le - 3$

$(1)$
Với

$t = \pi /3$ ta có

$y(\pi /3) = (3a + 5)/4$ . Lại do

$\left| {y(\pi /3)} \right| \le 1$ nên

$\left| {\frac{{3a + 5}}{4}} \right| \le 1{\rm{ }} \Leftrightarrow - 1 \le \frac{{3a + 5}}{4} \le 1{\rm{ }} \Leftrightarrow - 3 \le a \le - 1/3$

$(2)$

Từ

$(1)$ và

$(2)$ suy ra

$a = - 3$ .
Điều kiện đủ: Với

$a = - 3$ ta có:

$\begin{array}{l} y(t) = 4{\cos ^3}t - 3\cos t = c{\rm{os}}3t\\ \Rightarrow \left| {y(t)} \right| = \left| {c{\rm{os3t}}} \right| \le 1,{\rm{ }}\forall {\rm{t}} \end{array}$

Đáp số:

$a = - 3$

Bài 105536

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105536

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan