Bài 105525

Question

Cho hàm số: $y = \frac{mx^2 + 3mx + 2m + 1}{x + 2} (1)$
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị $m$, tiệm cận xiên (hay ngang) của đồ thị hàm số $(1)$ luôn đi qua một điểm cố định.
2) Với mỗi giá trị $m$ cho trước, hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A( - 1;0)$ và tiếp xúc với đồ thị hàm số $(1)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 2:38:54 PM

$1)$ Trong trường hợp tổng quát ta biến đổi biểu thức của hàm số (1) dưới dạng (lấy tử chia cho mẫu)
$y = mx + m + \frac{1}{{x + 2}}$                $(2)$
Vậy đồ thị của hàm số có tiệm cận xiên (hay ngang, điều này xảy ra khi $m = 0$).
$y = m(x + 1)$
Với $x = - 1$, ta luôn có $y = 0$. Vậy tiệm cận xiên (hay ngang) luôn luôn đi qua điểm $A( - 1;{\rm{ 0)}}$.

$2)$ Gọi $k$ là hệ số góc của đường thẳng $d$ đi qua $A( - 1;{\rm{ 0)}}$. Đường thẳng $d$ có phương trình
$y = k(x + 1)$
Để $d$ tiếp xúc với đồ thị hàm số $(1)$ (hay $(2)$), thì phương trình sau đây (sẽ quy về phương trình bậc hai) phải có nghiệm kép
    $m(x + 1) + \frac{1}{{x + 2}} = k(x + 1){\rm{ }} \Leftrightarrow (m - k)(x + 1) + \frac{1}{{x + 2}} = 0$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow (m - k)(x + 1)(x + 2) + 1 = 0\\
\Leftrightarrow (m - k){x^2} + 3(m - k)x + \left[ {2(m - k) + 1} \right] = 0{\rm{                                 (3)}}
\end{array}$

Để $(3)$ có nghiệm kép thì $(3)$ phải là những phương trình bậc $2$ với $\Delta = 0$, tức là
    $\left\{ \begin{array}{l}
m - k \ne 0\\
\Delta = 9{(m - k)^2} - 4(m - k)\left[ {2(m - k) + 1} \right] = (m - k)(m - k - 4) = 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow k = m - 4$
Vậy với mỗi giá trị $m$ cho trước, từ điểm $A( - 1;{\rm{ 0)}}$ ta kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số $(1)$, có phương trình: $y = (m - 4)(x + 1)$

Bài 105525

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105525

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan