Bài 105230

Question

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm:

$f(x)=|1+2\cos x|+|1+2 \sin x|$

score 0 · Answer 1

Giải
Đặt

$y=f^2(x)=6+4(\cos x+\sin x)+2|1+2(\sin x+\cos x)+4 \sin x \cos x|$
Đặt

$t=\cos x+\sin x=\sqrt{2} \sin (x+\frac{\pi}{4}) \Rightarrow -\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$
Khi đó:

$y=6+4t+2.|2t^2+2t-1|$
Ta có:

$2t^2+2t-1=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\\ t=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\end{array} \right.$
- Với

$-\sqrt{2}\leq t \leq -\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ hoặc

$\frac{\sqrt{3}-1}{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ , ta có:

$y=6+4t+2(2t^2+2t-1)=4t^2+8t+4=4(t+1)^2$
Hoành độ đỉnh

$t=-1$ nằm ngoài khoảng đang xét nên

$m_1=\min y= y(-\frac{\sqrt{3}+1}{2})=(\sqrt{3}-1)^2$

$M_1=\max y = y(\sqrt{2})=4(\sqrt{3}+1)^2$

- Với

$-\frac{\sqrt{3}+1}{2} \leq t \leq \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ , ta có:

$y=6+4t-2(2t^2+2t-1)=-4t^2+8$

$m_2=\min y=y(-\frac{\sqrt{3}+1}{2})=(\sqrt{3}-1)^2$

$M_2=\max y =y(0)=8$
Vậy trên đoạn

$[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$ ta có:

$m=\min y=\min (m_1;m_2)=(\sqrt{3}-1)^2$

$M=\max y =\ max (M_1,M_2)=4(\sqrt{2}+1)^2$
Do đó:

$\min f=\sqrt{3}-1$ và

$\max f=2(1+\sqrt{2})$

1 Đáp án