Bài 105164

Question

Chứng minh với $\forall m$ phương trình sau luôn có nghiệm: $\frac{1}{\sin x} +\frac{1}{\cos x}=m $ (1)
Tìm $m$ để (1) có nghiệm $ \in( {0;\frac{\pi }{2}} )$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/22/2012 3:22:02 PM

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
\sin x \ne 0\\
c{\rm{osx}} \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}$
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{osx}} - m\sin {\rm{x}}c{\rm{osx}} = 0$                $(2)$
Đặt ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{osx = t}}$, $t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right],t \ne \pm 1$, $(3)$ trở thành:
$t - m.\frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = m{t^2} - 2t - m$                $(3)$
Phải chứng minh $(3)$ có ít ra $1$ nghiệm $ \ne \pm 1$ và $ \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$
Trường hợp $m = 0$ $(3)$ có nghiệm $t = 0$: thõa mãn.
Trường hợp $m \ne 0$: $f\left( { \pm 1} \right) = \pm 2 \Rightarrow \pm 1$ không phải là nghiệm của $(3)$
Mặt khác $f\left( 1 \right).f\left( { - 1} \right) = - 4 < 0$ nên có nghiệm $ \in \left( { - 1;1} \right)$ cũng thuộc $ \in \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)$
Vậy với $\forall m$ $(3)$ đều có nghiệm thích hợp $ \Rightarrow \left( 1 \right)$ có nghiệm   (đpcm)

Để $(1)$ có nghiệm $ \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$. Vẫn đưa phương trình về dạng $(3)$, nhưng do x $ \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ nên:
$t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{osx}} = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left( {1,\sqrt 2 } \right)$
                                                (vì $x + \frac{\pi }{4} \in \left( {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right) \Rightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right]$)
$ \Rightarrow t = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left( {1;\sqrt 2 } \right]$
Vậy $(3)$ phải có ít nhất một nghiệm $ \in \left( {1;\sqrt 2 } \right]$
-   Trường hợp $m = 0$ loại vì $(3)$ có nghiệm $t = 0 \in \left( {1;\sqrt 2 } \right]$
-   Trường hợp $m \ne 0$.
Do $f\left( { - 1} \right).f\left( 1 \right) = - 4 < 0$ nên $(3)$ có $1$ nghiệm ${t_1} \in \left( { - 1;1} \right)$ nghiệm ${t_2} \in \left( { - 1;1} \right]$, để ${t_2} \in \left( {1,\sqrt 2 } \right]$ phải có
$\left\{ \begin{array}{l}
m.f\left( 1 \right) < 0\\
m.f\left( {\sqrt 2 } \right) \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\left( { - 2} \right) < 0\\
m.\left( {m - 2\sqrt 2 } \right) \ge 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow m \ge 2\sqrt 2 $.
Đây là các giá trị $m$ cần tìm.

Bài 105164

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105164

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan