Bài 105195

Question

Giải phương trình: $\cos x+\frac{1}{\cos x}+\sin x+\frac{1}{\sin x}=\frac{10}{3} $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/22/2012 4:22:08 PM

Điều kiện của nghiệm : $x \ne k\frac{\pi }{2},k \in Z$
Phương trình đã cho tương đương với:
$c{\rm{osx}} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \frac{{c{\rm{osx + sinx}}}}{{\cos {\rm{x}}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} = \frac{{10}}{3}$ $(1)$
Đặt $t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + cosx}} = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right),\left| t \right| \le \sqrt 2 $, $(1)$ trở thành
$t + \frac{{2t}}{{{t^2} - 1}} = \frac{{10}}{3}$ $(2)$
Do $x \ne k\frac{\pi }{2} \Rightarrow t \ne \pm 1$ và
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3{t^3} - {10^2} + 3t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {3{t^2} - 4t - 5} \right) = 0$
Nên phương trình này có $3$ nghiệm:
${t_1} = 2,{t_2} = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{3},{t_3} = \frac{{2 + \sqrt {19} }}{3}$
Chỉ có ${t_2}$ là thích hợp, suy ra
$\begin{array}{l}
c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{3} = c{\rm{os}}\alpha
\\ \Rightarrow x - \frac{\pi }{4} = \pm \alpha + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} \pm \alpha + 2k\pi \left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Bài 105195

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105195

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan