Bài 105108

Question

Cho hàm số: $y = \frac{x^2+ 2x + 2}{x + 1}\,\,\,\,(C)$
$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ($C)$
Dùng đồ thị giải thích tại sao phương trình $\frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} = m(x + 1)$ với
tham số $m > 1$ có hai nghiệm phân biệt và tổng của chúng là một số không đổi.
$2$. Chứng minh có hai tiếp tuyến của $(C)$ đi qua điểm $A(1;0$) và vuông góc với nhau.

score 0 · Answer 1

$1.$ Bạn đọc tự khảo sát và vẽ đồ thị. Với $m>1$ thì đường thẳng $y=m(x+1)$ luôn đi qua tâm đối xứng của đồ thị và nằm trong góc nhọn giữa $2$ tiệm cận, do đó luôn cắt đồ thị tại $2$ điểm $A_1(x_1,y_1)$ và $A_2(x_2,y_2)$ đối xứng với nhau qua $I(-1,0)$(giao hai tiệm cận và là tâm đối xứng của đồ thị) $\Rightarrow \forall m>1$phương trình đã cho luôn có $2$ nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $\frac{x_1+x_2}{2}=-1 $ hay $x_1+x_2=-2$ không đổi
$2.$ đường thẳng đi qua $a(1,0)$, hệ số góc $k$ có phương trình $y=k(x-1)$.Đường thẳng này sẽ là tiếp tuyến của đồ thị hà số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1} =x+1+\frac{1}{x+1} $ khi hệ phương trình có nghiệm:
$(H) \begin{cases}x+1+\frac{1}{x+1} =k(x-1) (1)\\ 1-\frac{1}{(x+1)^2}=k (2)\end{cases} $
Ta có $(2)\Leftrightarrow x+1-\frac{1}{x+1}=k(x+1)(2') $
$(1)$ và $(2')\Rightarrow \frac{2}{x+1}=-2k\Rightarrow \frac{1}{x+1} =-k $
do đó $(H)\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{1}{x+1}=-k (3) \\ 1-\frac{1}{(x+1)^2} (2) \end{cases} $
$(H)$ sẽ có nghiệm $\Leftrightarrow (3)$ có nghiệm thỏa mãn $(2)\Leftrightarrow \begin{cases}-k\neq 0 \\ 1-(-k)^2=k \end{cases} $
$\Leftrightarrow k_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5} }{2} $
Vậy qua $A(1;0)$ kẻ được tới đồ thị hai tiếp tuyến $y=k_1(x-1),y=k_2(x-1)$.Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau vì $k_1.k_2=-1$

Bài 105108

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105108

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan