Bài 104980

Question

Cho hàm số: $y = {x^3} - 3x\,\,(1)$
$1$. Khảo sát hàm số ($1).$
$2$. Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi, đường thẳng cho bởi phương trình $y = m(x + 1) + 2$ luôn cắt đồ thị hàm số ($1$) tại một điểm $A$ cố định.
Hãy xác định các giá trị của $m$ để đường thẳng cắt đồ thị hàm số ($1$) tại $3$ điểm $A, B, C$ khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại $B$ và $C$ vuông góc với nhau.

score 0 · Answer 1

$1.$ Bạn đọc tự giải
$2.$ Xét phương trình $x^3-3x=m(x+1)+2$
$\Leftrightarrow (x+1)(x^2-x-2-m)=0           (2)$
Phương trình luôn có nghiệm $x=-1$ do đó đường thẳng luôn cắt đồ thị tại điểm $A(-1,2)$cố định
Với $x\neq -1$ từ $(2)$ ta có $x^2-x-2-m        (3)$
do đó đường thẳng cắt đồ thị hàm số $(1)$ tại $3$ điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $3$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $-1\Leftrightarrow $ điều kiện$ \begin{cases}\Delta>0 \\ f(-1)\neq 0 \end{cases} $
+ $\Delta >0\Leftrightarrow m>-9/4$
+ $f(-1)=-m\neq 0$
kết hợp ta được $m>-9/4$ với $m\neq 0          (4)$
Ta có : $y^/=3x^2-3$
Tiếp tuyế ntại $B,C$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $y^'(x_B).y^/(x_C)=-1$
$\Leftrightarrow 9(x_1x_2)^2-9[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]+10=0          (5)$
Theo định lí Vi-ét ta có : $\begin{cases}x_1+x_2=1 \\ x_1x_2=-2-m \end{cases} $
Thay vào $(5)$ ta được $9(2+m)^2-9[1+2(2+m)]+10=0$
ĐS : $m=\frac{-3\pm 2\sqrt{2} }{3} $

cho hỏi dòng dưới dòng " Tếp tuyến B,C vuông góc với nhau ..."Không hiểu ạ. Làm ơn giải thích giùm

Bài 104980

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104980

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan