Bài 104962

Question

Cho phương trình: $x^4 + ( 2m + 1 )x^2 + m^2 - 1 = 0$ (1)
Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có đúng $4$ nghiệm tạo thành cấp cố cộng.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/21/2012 9:13:22 AM

Đặt ${x^2} = t \ge 0$ dẫn tới : ${t^2} + \left( {2m + 1} \right)t + {m^2} - 1 = 0$            $(2)$
Chú ý rằng phương trình trùng phương ban đầu có từng cặp nghiệm đối xứng $ \pm {x_1},{\rm{}} \pm {{\rm{x}}_2}$ trong đó ${\left( { \pm {x_1}} \right)^2} = {x^2}_1 = {t_1}$, ${\left( { \pm {x_2}} \right)^2} = {x^2}_2 = {t_2}$ với ${t_1},{t_2}$ là $2$ nghiệm dương của $(2)$
$4$ nghiệm $ - {x_1}, - {x_2},{x_1},{x_2}$ tạo thành cấp số cộng.
$ \Rightarrow {x_2} = 3{{\rm{x}}_1} \Rightarrow {x^2}_2 = 9{{\rm{x}}^2}_1 \Rightarrow {t_2} = 9{t_1}$. Vậy $(2)$ phải có $2$ nghiệm dương phân biệt, nghiệm này gấp 9 lần nghiệm kia, điều kiện là:
    $\left\{ \begin{array}{l}
\Delta = 4m + 5 > 0{\rm{             (3)}}\\
1.f\left( 0 \right) = {m^2} - 1 > 0{\rm{       (4)}}\\
\frac{S}{2} = - \frac{{2m + 1}}{2} > 0{\rm{           (5)}}\\
\left( {{t_2} - 9{t_1}} \right)\left( {{t_1} - 9{t_2}} \right) = 0{\rm{          (6)}}
\end{array} \right.$

Hệ $(3), (4), (5)$ theo câu $(5) \Leftrightarrow - \frac{5}{4} < m < - 1$
$(6)$ dẫn tới:
      $ 100 {t_1}{t_2} - 9\left( {{t_1} + {t_2}} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow 100\left( {{m^2} - 1} \right) - 9{\left( {2m + 1} \right)^2} = 0$
$ \Leftrightarrow F\left( m \right) = 64{m^2} - 36m - 109 = 0$ $ \Leftrightarrow {m_{1,2}} = \frac{{18 \pm \sqrt {7300} }}{{64}}$

Kết hợp với $ - \frac{5}{4} < m < - 1$ rõ ràng ${m_1} = \frac{{18 + \sqrt {7300} }}{{64}} > 0$ bị loại.
Mà $F\left( { - \frac{5}{4}} \right).F\left( { - 1} \right) < 0$ nên suy ra ${m_2} = \frac{{18 - \sqrt {7300} }}{{64}}$ lấy được.
Vậy để $ 4$ nghiệm tạo thành cấp số cộng $ \Leftrightarrow m = \frac{{18 - \sqrt {7300} }}{{64}}$

Bài 104962

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104962

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan