1. Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ 1: Giải bất phương trình ${x^2} - x + \left| {3x - 2} \right| > 0$
Giải: Trước hết, ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Nếu $3x - 2 \geqslant 0$thì ${x^2} - x + \left| {3x - 2} \right| = {x^2} - x + (3x - 2) = {x^2} + 2x - 2$
Nếu $3x - 2 < 0$thì ${x^2} - x + \left| {3x - 2} \right| = {x^2} - x - (3x - 2) = {x^2} - 4x + 2$
Do đó, bất phương trình đã cho tương đương với
$(I)\left\{ \begin{gathered}
3x - 2 \geqslant 0 \\
{x^2} + 2x - 2 > 0 \\
\end{gathered} \right.$ hoặc $(II)\left\{ \begin{gathered}
3x - 2 < 0 \\
{x^2} - 4x + 2 > 0 \\
\end{gathered} \right.$
Nói cách khác, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là tập hợp các nghiệm của hai hệ bất phương trình (I) và (II)
Ta có
$
(I) \Leftrightarrow \begin{cases} x \geqslant \frac{3}{2} \\ \left[ \begin{array}{l}x < - 1 - \sqrt 3\\x > - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{cases} \Leftrightarrow x\geq \frac{3}{2} $
$(II) \Leftrightarrow \begin{cases}x < \frac{2}{3} \\\left[ \begin{array}{l}x < 2 - \sqrt 2\\x > 2 + \sqrt 2 \end{array} \right. \end{cases}\Leftrightarrow x<2- \sqrt{2} $
Tập nghiệm của hệ bất phương trình là $\left( { - \infty ;2 - \sqrt 2 } \right) \cup \left( { \frac{3}{2} ; + \infty } \right)$
2. Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai
Khi giải phương trình hoặc bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai, ta thực hiện một số phép biến đổi tương đương để đưa nó về một phương trình hoặc bất phương trình không còn chứa ẩn trong dấu căn bậc hai.
Trong quá trình biến đổi cần lưu ý:
- Nêu các điều kiện xác định của phương trình hoặc bất phương trình và nêu điều kiện của nghiêm (nếu có);
- Chỉ bình phương hai vế của phương trình hoặc bất phương trình khi cả hai vế đều không âm.
Gộp các điều kiện đó với phương trình hoặc bất phương trình mới nhận được, ta có 1 hệ phương trình hoặc bất phương trình tương đương với phương trình hoặc bất phương trình đã cho.
Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt {3{x^2} + 24x + 22} = 2x + 1 (I)$
Giải: Phương trình đã cho tương đương với hệ:
$(I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
2x + 1 \geqslant 0 \\
3{x^2} + 24x + 22 = {(2x + 1)^2} \\
\end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \geqslant - \frac{1}{2} \\
{x^2} - 20x - 21 = 0 \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \geqslant - \frac{1}{2} \\
x = - 1;x = 21 \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 21$
|