Bài 104888

Question

Cho phương trình bậc hai : ${x^2} - ( {2\sin \alpha - 1} )x + 6{\sin ^2}\alpha - \sin \alpha - 1 = 0$
Trong đó $\alpha $ là tham số
a) Với những giá trị nào của $\alpha $ thì phương trình có nghiệm ?
b) Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ${x^2}_1 + {x^2}_2$ khi $\alpha $ thay đổi.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/19/2012 11:00:10 AM

a) Phương trình có nghiệm khi:
    $\Delta = {\left( {2\sin \alpha - 1} \right)^2} - 4\left( {6{{\sin }^2}\alpha - \sin \alpha - 1} \right) = - 20{\sin ^2}\alpha + 5 \ge 0$
    $ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le \sin \alpha \le \frac{1}{2}$
    $ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{6} + 2k\pi \le \alpha \le \frac{\pi }{6} + 2k\pi \left( {k \in Z} \right)$

b) Với điều kiện của phần $1)$; ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ta có:
    ${x_1} + {x_2} = 2\sin \alpha - 1,{x_1}{{\rm{x}}_2} = 6{\sin ^2}\alpha - \sin \alpha - 1$
Do đó $y = {x^2}_1 + {x^2}_2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}$
    $ = {\left( {2\sin \alpha - 1} \right)^2} - 2\left( {6{{\sin }^2}\alpha - \sin \alpha - 1} \right) = - 8{\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha + 3$
Đặt $t = \sin \alpha $, $ - \frac{1}{2} \le t \le \frac{1}{2}$, khi đó
    $y = - 8{t^2} - 2t + 3, - \frac{1}{2} \le t \le \frac{1}{2}$
Biến đổi biểu thức của y như sau
    $y = - 8\left[ {{t^2} + 2.\frac{1}{8}t + {{\left( {\frac{1}{8}} \right)}^2}} \right] + \frac{1}{8} + 3 = - 8{\left( {t + \frac{1}{8}} \right)^2} + \frac{{25}}{8}$
Từ đó ta suy ra:
${y_{m{\rm{ax}}}} = \frac{{25}}{8}$ khi $t = - \frac{1}{8}$, tức là khi $\sin \alpha = - \frac{1}{8}$
${y_{\min }} = - 8{\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{8}} \right)^2} + \frac{{25}}{8} = 0$ khi $t = \frac{1}{2}$ tức là khi $\sin \alpha = \frac{1}{2}$
    $ \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi }{6} + 2k\pi $ hoặc $\alpha = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Bài 104888

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104888

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan