Bài 104875

Question

Cho hàm số:

$y = - {x^3} + 3{x^2} - 2\,\,\,(C)$

$1$ . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (

$C$ ) của hàm số.

$2$ .Tìm các điểm thuộc đồ thị (

$C$ ) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị

$(C)$

score 0 · Answer 1

$1.$ Bạn đọc tự giải

$2.$ Xét

$A(x_0,y_0=-x_0^3+3x_0^2-2)\in (C)$ Đường thẳng đi qua

$A$ với hệ số góc

$k$ có phương trình :

$y=k(x-x_0)-x_0^3+3x_0^2-2$ . Đường thẳng này sẽ có mộ tiếp tuyến (qua

$A$ ) của

$(C)\Leftrightarrow$ hệ phương trình sau có nghiệm :

$\begin{cases}-x^3+3x^2-1=k(x-x_0)-x_0^3+3x_0^2-2 (1) \\ -3x^2+6x=k (2)\end{cases}$
Thế

$(2)$ vào

$(1)$ ta có :

$x=x_0,x=\frac{3-x_0}{2}$ Thế trở lại

$(2)$ ta được

$2$ giá trị của

$k$ làm hệ

$(1),(2)$ có nghiệm :

$k_1=-3x_0^2+6x_0,k_2=-3(\frac{-x_0+3}{2} )^2+6(\frac{-x_0+3}{2} )$
Như vậy, qua

$A(x_0,y_0$ sẽ có đúng

$1$ tiếp tuyến

$\Leftrightarrow k_1=k_2\Leftrightarrow x_0=1$
Vậy trên

$(C)$ chỉ có duy nhất điểm

$A(1,0$ ,mà qua

$A$ kẻ được một và chỉ mộ tiếp tuyến với

$(C)$

1 Đáp án