Bài 104848

Question

Cho hàm số:
$y = \frac{x + 1}{x - 1}$
$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
$2$. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
$3$. Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất.

score 0 · Answer 1

$1.$ Bạn đọc tự giải
$2.$ Xét điểm $M(x_0;y_0=\frac{x_0+1}{x_0-1})$ thuộc đồ thị.Tiếp tuyến tại $M$ có phương trình $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x)=\frac{-2}{(x_0-1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+1}{x_0-1}$
Gọi $A,B$ theo thứ tự là các giao diểm của tiếp tuyến trên với tiệm cận đứng và tiệm cận ngang; $E$ là giao điểm $2$ tiệm cận. $E$ có tọa độ $1,1$
$A$ có tọa độ: $x_A=1,y_A=\frac{x_0+3}{x_0-1}$
$B$ có tọa độ : $y_B=1, x_B=2x_0-1$
Do đó $EA=|y_A-y_E|=|\frac{x_0+3}{x_0-1}-1|=\frac{4}{|x_0-1|}$
$EB=|x_B-x_E|=|2x_0-1-1|=2|x_0-1|$
dt $\Delta ABC=\frac{1}{2.EA.EB=4}$ (đơn vị diện tích)
$\Rightarrow $ các tiếp tuyến của đồ thị tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi
$3. AB^2=EA^2+EB^2\geq 2EA.EB=2.\frac{4}{|x_0-1|}.2|x_0-1|=16\Rightarrow AB\geq 4$
$EA+EB\geq 2\sqrt{EA.EB}=2\sqrt{8}=4\sqrt{2}+4$
$\Delta EAB $có chu vi bé nhát $EA=EB\Leftrightarrow 2|x_0-1|=\frac{4}{|x_0-1|}$
$\Leftrightarrow (x_0-1)^2=2\Leftrightarrow x_0-1=\pm \sqrt{2}\Leftrightarrow x_0=1\pm \sqrt{2}$
Vậy trên đồ thị có $2$ điểm mà tiếp tuyến tại đó lâp với $2$ đường tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất, đó là $2$ điểm với hoành độ $x_0=1\pm \sqrt{2}$

Bài 104848

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104848

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan