Bài 104598

Question

$1$. Trong không gian với hệ tọa độ Đề các trực chuẩn $Oxyz$ cho $4$ điểm $A(1;0;0) B(1;1;0) C(0;1;0) D(0;0;m)$ với $m$ là tham số khác $0$.
$a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC, BD$ khi $m = 2.$
$b$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $BD$. Tìm các giá trị của tham số $m$ để diện tích tam giác $OBH$ đạt giá trị lớn nhất.

score 0 · Answer 1

$a) m = 2$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AC} ( - 1;1;0)\,;\overrightarrow {BD} ( - 1; - 1;2)$.
Khi đó phương trình mặt phẳng ($P$) chứa $AC$ và //BD đi qua $A(1;0;0)$ và $ \bot \overrightarrow {{n_P}} = {\rm{[}}\overrightarrow {AC;} \overrightarrow {BD} {\rm{] = (2;2;2)}}$là:
$\begin{array}{l}
2(x - 1) + 2y + 2z = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\\
d(AC;BD) = d(B;(P)) = \frac{{|1 + 1 + 0 - 1|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}
\end{array}$
$b) \overrightarrow {BD} = ( - 1; - 1;m)$
Phương trình mặt phẳng ($Q$) qua $O$ vuông góc $\overrightarrow {BD} ( - 1; - 1;m)$là:$ x + y - mz = 0$
PT đường thẳng $(BD):$
$\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = 1 - t\\
z = mt
\end{array} \right.$
Thay vào pt mặt phẳng ($Q$): $t = \frac{2}{{2 + {m^2}}}$
Vậy:
$\begin{array}{l}
BD \cap (Q) = H\left( {\frac{{{m^2}}}{{2 + {m^2}}};\frac{{{m^2}}}{{2 +
{m^2}}};\frac{{2m}}{{2 + {m^2}}}} \right)\\
\overrightarrow {OB} = (1;1;0)\\
\overrightarrow{OH}(\frac{m^2}{2+m^2};\frac{m^2}{2+m^2};\frac{2m}{2+m^2})\\\Rightarrow [\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OH}]=(\frac{2m}{2+m^2};\frac{-2m}{2+m^2};0)\\{S_{\Delta OBH}} = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {OB} \overrightarrow {OH} } \right] =
\frac{1}{2}\sqrt {\frac{{4{m^2}}}{{{{\left( {2 + {m^2}} \right)}^2}}} +
\frac{{4{m^2}}}{{{{\left( {2 + {m^2}} \right)}^2}}}} \le \frac{1}{2}
\end{array}$
( Theo BĐT Cauchy)
Vậy $max{S_{OBH}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2 $

Bài 104598

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104598

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan