Bài 104516

Question

Giải các hệ phương trình sau:
a/ $ \begin{cases}x^{2}=1+6\log_{4}{y} \\ y^{2}=y.2^{x}+2^{2x+1} \end{cases} $
b/ $ \begin{cases} \log_{5}{x}+\log_{5}{7}\log_{7}{y}=1+\log_{5}{2} \\ 3+2\log_{2}{y}=\log_{2}{5} \left( 2+3\log_{5}{x} \right) \end{cases} $
c/ $\begin{cases} \log_{9}{ \left( x^{2}+1 \right) }-\log_{3}{ \left( y-2 \right)}=0 \\ \log_{2}{ \left( x^{2}-2y^{2}+10y-7 \right) } =2 \end{cases} $
d/ $\begin{cases} 4^{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}=32 \\ \log_{3}{\left( x+y \right) } =1-\log_{3}{\left( x+y \right) } \end{cases} $

score 0 · Answer 1

a/ $ \begin{cases}x^{2}=1+6\log_{4}{y} (1)\\ y^{2}=y.2^{x}+2^{2x+1} (2)\end{cases} $
Điều kiên:$y>0$
$(2) \Leftrightarrow 2 \left( 2^{x} \right) ^{2}+y.2^{x}-y^{2}=0$ Coi y là tham số, phương trình có $ \Delta = y^{2}+8y^{2}=9y^{2}$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 2^{x}=\frac{-y-3y}{4}=-y (L)\\ 2^{x}=\frac{-y+3y}{4}=\frac{y}{2} \end{array} \right. $
từ $y=2.2^{x} $ thế vào $(1)$:
$x^{2}=1+6\log_{4}{y} \Leftrightarrow x^{2}=1+3\log_{2}{ \left( 2.2^{x} \right) }=1+3 \left( \log_{2}{2}+\log_{2}{2^{x}} \right) $
$\Leftrightarrow x^{2}=1+3 \left( 1+x \right) \Leftrightarrow x^{2}-3x-4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1 \Rightarrow y=1 \\ x=4 \Rightarrow y=32 \end{array} \right. $
b/ $ \begin{cases} \log_{5}{x}+\log_{5}{7}\log_{7}{y}=1+\log_{5}{2} \\ 3+2\log_{2}{y}=\log_{2}{5} \left( 2+3\log_{5}{x} \right) \end{cases} $
Điều kiện:$x>0, y>0$
$(1) \Leftrightarrow \log_{5}{x}+\log_{5}{y}=\log_{5}{10} \Leftrightarrow xy=10 \Leftrightarrow y=\frac{10}{x}$
$(2) \Leftrightarrow 3+2\log_{2}{\frac{10}{x}}-2\log_{2}{5}+3\log_{2}{5}\log_{5}{x}$
$\Leftrightarrow 3+2\log_{2}{10}-2\log_{2}{5}+3\log_{2}{x}$
$\Leftrightarrow 3+2\log_{2}{5}+2=2\log_{2}{5}+5\log_{2}{x}$
$\Leftrightarrow 5\log_{2}{x}=5 \Leftrightarrow \log_{2}{x}=1 \Leftrightarrow x=2 \Rightarrow y=5$

c/ $\begin{cases} \log_{9}{ \left( x^{2}+1 \right) }-\log_{3}{ \left( y-2 \right)}=0 (1) \\ \log_{2}{ \left( x^{2}-2y^{2}+10y-7 \right) }=2 (2) \end{cases} $
Điều kiện:$\begin{cases} y-2>0 \\ x^{2}-2y^{2}+10y-7>0 \end{cases} $
$(1) \Leftrightarrow \log_{3}{\frac{ \sqrt{ x^{2}+1}}{y-2}}=0 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+1}=y-2$
$x^{2}+1=y^{2}-4y+4 \Leftrightarrow x^{2}=y^{2}-4y+3$
$(2) \Leftrightarrow x^{2}-2y^{2}+10y-7=4 \Leftrightarrow x^{2}-2y^{2}+10y-11=0$
Thế $x^{2}=y^{2}-4y+3$ vào $(2): y^{2}-4y+3-2y^{2}+!0y-11=0$
$\Leftrightarrow -y^{2}+6y-8=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=2 (L) \\ y=4 \end{array} \right. $
Với $y=4$ thì $x^{2}=3 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{3}$

d/ $\begin{cases} 4^{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}=32 (1)\\ \log_{3}{\left( x+y \right) } =1-\log_{3}{\left( x+y \right) } (2) \end{cases} $
$(1)\Leftrightarrow 2^{2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)}=2^{5} \Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{5}{2} \Leftrightarrow \frac{x^{2}+y^{2}}{xy}=\frac{5}{2} (1')$
$(2) \Leftrightarrow 2\log_{3}{\left( x+y \right) } =1 (x+y>0)$
$\Leftrightarrow \log_{3}{\left( x+y \right) } =\frac{1}{2} \Leftrightarrow x+y=3^{\frac{1}{2}}= \sqrt{ 3}$
$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2xy=3 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=3-2xy$ thế vào $(1')$:
$\frac{3-2xy}{xy}=\frac{5}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{xy}-2=\frac{5}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{xy}=\frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{xy}=\frac{3}{2} \Leftrightarrow xy=\frac{3}{2} \Leftrightarrow \begin{cases} x+y=\sqrt{3} \\ xy=\frac{2}{3} \end{cases} $
$x, y$ theo thứ tự là nghiệm của phương trình:
$X^{2}-\sqrt{ 3}X+\frac{2}{3}=0$
$\left[ \begin{array}{l} X_{1}=\frac{1}{ \sqrt{ 3}} \\ X_{2}= \frac{2}{ \sqrt{ 3}} \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{1}{ \sqrt{ 3}}, y=\frac{2}{ \sqrt{ 3}} \\ x=\frac{2}{ \sqrt{ 3}} , y=\frac{1}{ \sqrt{ 3}} \end{array} \right. $

Bài 104516

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104516

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng pp đại số

Lý thuyết liên quan